第七章实数的完备性 §1关于实数集完备性的基本定理 区间套定理与柯西收敛准则 定义1区间套:设[a.])是一闭区间序列,若满足条件 )对n,有 ,b],即a,sa21<bsb2,亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中 bx-a2→0, 即当→0时区间长度趋于零 则称该闭区间序列为闭区间套,简称为区间套 区间套还可表达为 1≤a 我们要提请大家注意的是,这里涉及两个数列(a1)和(b,),其中(a)递 增, 递减 (1(-1 1+ 例如n和都是区间套.但 ((0,-] ([--,1+-]) 和 n都不是 区间套定理 定理7.1(区间套定理)设{a,b2是一闭区间套.则在实数系中存在唯 的点5,使 对Vn有 5∈[a,an].简言之,区间套必有唯一公共点 聚点定理与有限覆盖定理
第七章 实数的完备性 § 1 关于实数集完备性的基本定理 一 区间套定理与柯西收敛准则 定义 1 区间套: 设 是一闭区间序列. 若满足条件 ⅰ） 对 , 有 , 即 , 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中; ⅱ） . 即当 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 . 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递 增, 递减. 例如 和 都是区间套. 但 、 和 都不是. 区间套定理 定理 7.1(区间套定理) 设 是一闭区间套. 则在实数系中存在唯 一的点 , 使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 二 聚点定理与有限覆盖定理
定义设E是无穷点集.若在点5(未必属于E)的任何邻域内有E的无 穷多个点,则称点5为E的 个聚点 数集E=n有唯一聚点0,但0￠E 开区间(0,1)的全体聚点之集是闭区间[0,1] 设是0,1中全体有理数所成之集,易见g的聚点集是闭区间[0,1] 定理7.2( Weierstrass 任一有界数列必有收敛子列 聚点原理: Weierstrass聚点原理 定理7.3每一个有界无穷点集必有聚点 列紧性:亦称为 Weierstrass收敛子列定理. 四. Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件: 基本列:回顾基本列概念.基本列的直观意义.基本列亦称为 Cauchy 例 验证以下两数列为 Cauchy列 (1) x,=09sin09+092sm√09+…+092sinv09 解() x2-xn|=1092sn209+…0.9n“09≤ ≤0.92 +0.9+》<0.9+…+0.9 0.9x+1 1-0910×091
定义 设 是无穷点集. 若在点 (未必属于 )的任何邻域内有 的无 穷多个点, 则称点 为 的 一个聚点. 数集 = 有唯一聚点 , 但 ; 开区间 的全体聚点之集是闭区间 ; 设 是 中全体有理数所成之集, 易见 的聚点集是闭区间 . 定理 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理. 定理 7.3 每一个有界无穷点集必有聚点. 列紧性: 亦称为 Weierstrass 收敛子列定理. 四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 : 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为 Cauchy 列. 例 1 验证以下两数列为 Cauchy 列 : ⑴ . ⑵ . 解 ⑴ ;
对vE>0,为使|x,-x<E,易见只要*、台 g0.9 于是取M= +2+1 12x+3 当P为偶数时,注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均 为正号,有 2x+1 2n+1 2(n+p)-32(n+p) 又 2(n+p) (n+p)-52(n+p)-3)2(x+p)-1 当2为奇数时 2(n+p)-1
对 ，为使 ，易见只要 . 于是取 . ⑵ . 当 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均 为正号 , 有 , 又 . 当 为奇数时
≥0 2n+12n+3 2(n+p) 2(n+p)-32(x+p) 2n+ 综上,对任何自然数P,有 2(n+p)-12n+1s√ P+1 0≤ 2n+12x+3 Cauchy列的否定: 例2 幻k,验证数列(x,)不是 Cauch列 证对V,取P=n,有 n+1n+2 X+n E 因此,取 三 Cauchy收敛原理: 定理数列(ax)收敛台(a)是 Cauchy列 (要求学生复习函数极限、函数连续的 Cauchy准则,并以 Cauchy收敛原理为依 据,利用 Heine归并原 则给出证明)
. 综上 , 对任何自然数 , 有 . …… Cauchy 列的否定: 例 2 . 验证数列 不是 Cauchy 列. 证 对 , 取 , 有 . 因此, 取 ,…… 三 Cauchy 收敛原理: 定理 数列 收敛 是 Cauchy 列. ( 要求学生复习函数极限、函数连续的 Cauchy 准则，并以 Cauchy 收敛原理为依 据，利用 Heine 归并原 则给出证明 )
四.致密性定理: 五 Heine- Borel有限复盖定理 1.复盖:先介绍区间族G=(,A∈A) 定义(复盖)设E是一个数集,G是区间族.若对 x∈E,丑∈A,3x∈l1 则称区间族G复盖了E,或称区间族G是数集E的一个复盖.记为 EcUl1,A∈A 若每个4都是开区间,则称区间族G是开区间族.开区间族常记为 M=((a1,1),a1<A1,∈A 定义(开复盖)数集E的一个开区间族复盖称为E的一个开复 盖,简称为E的一个复盖.子复盖 有限复盖、有限子复盖 M=((,),x∈(0,1)) 例3 复盖了区间(0,1),但不能复盖 [0,1] b-x H=((x- X ),x∈(a,b) 复盖[a,b),但不能复 盖 Heine- Borel有限复盖定理 定理闭区间的任一开复盖必有有限子复盖
四. 致密性定理: 五 Heine–Borel 有限复盖定理: 1. 复盖: 先介绍区间族 . 定义( 复盖 ) 设 是一个数集 , 是区间族 . 若对 , 则称区间族 复盖了 , 或称区间族 是数集 的一个复盖. 记为 若每个 都是开区间, 则称区间族 是开区间族. 开区间族常记为 . 定义( 开复盖 ) 数集 的一个开区间族复盖称为 的一个开复 盖, 简称为 的一个复盖.子复盖、 有限复盖、有限子复盖. 例 3 复盖了区间 , 但不能复盖 ; 复盖 , 但不能复 盖 . Heine–Borel 有限复盖定理: 定理 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖