第十一章反常积分 §1反常积分概念 教学内容: 1.反常积分概念的引入 2.无穷积分的定义 3.瑕积分的定义 教学重点:无穷积分敛散性的概念、常用的收敛与发散的无穷积分 教学难点:反常积分概念的引入 问题的提出 定积分有两个基本的限制:积分区间是有限区间;函数为有界函数, 但实际问题很多都涉及无穷区间上的“积分”和无界函数的“积分
第十一章 反 常 积 分 § 1 反常积分概念 教学内容： 1. 反常积分概念的引入 2. 无穷积分的定义 3. 瑕积分的定义 教学重点：无穷积分敛散性的概念、常用的收敛与发散的无穷积分 教学难点：反常积分概念的引入 一. 问题的提出 定积分有两个基本的限制：积分区间是有限区间；函数为有界函数, 但实际问题很多都涉及无穷区间上的“积分”和无界函数的“积分
例1:(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭。要使火箭克 服地球引力无限远离地球,试问初速度至少要多大? 解:设地球半径为R,火箭质量为m,初速度为地面上的重力加速度为g。 则火箭在距地心x(≥R)处所受的引力为 mgR 2(万有引力定理) x 从而火箭从地面上升到离地心r(>R处需作的功为 mgr dx=mgRR r R 火箭要无限远离地球,意味着r→+∞,此时需作的功为上式右边的极限mgR, 也就把上式写为 +oo mgR dx=lm mgR R r→+ R 2g1 最后由机械能守恒定律得m1b=m8R 把各数值代入可求得结果
例1：（第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火箭。要使火箭克 服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？ 万有引力定理） 则火箭在距地心 处所受的引力为 解：设地球半径为 ，火箭质量为 ，初速度为 地面上的重力加速度为 。 ( ( ) , 2 0 x mgR F x R R m v g = 从而火箭从地面上升到离地心r(>R)处需作的功为 = − r R R r dx mgR x mgR ) 1 1 ( 2 2 也就把上式写为 火箭要无限远离地球，意味着r → +，此时需作的功为上式右边的极限mgR， 最后由机械能守恒定律得 mgR R r dx mgR x mgR R r = − = + →+ ) 1 1 lim ( 2 2 mv = mgR 2 0 2 1 把各数值代入可求得结果
例2:圆柱形桶的内壁高为h,内半径为R,桶底有一半径为r的小孔。 试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水,共需多少时间? 解:从物理学知道,当桶内水位高度为h-x时,水从孔中流出的速度为 v=√2g(h-x)(其中g为重力加速度) 设在很小一段时间dt内,桶中液面降低的微小量为dx,它们满足 tR dx=viraat 从而有 R dx,x∈[0,h] g(h-x R 所以流完一桶水所需时间可写为“积分”t dx r2√2g(h-x 但是因为这里的被积函数是[0,h)上的无界函数,故 R 2 R 2hR dx= lim g vg
例2：圆柱形桶的内壁高为h , 内半径为 R ，桶底有一半径为 r 的小孔。 试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？ 解：从物理学知道，当桶内水位高度为h-x 时，水从孔中流出的速度为 v = 2g(h − x) (其中g为重力加速度） 设在很小一段时间dt 内，桶中液面降低的微小量为dx,它们满足 , [ 0, ] 2 ( ) 2 2 2 2 dx x h r g h x R dt R dx v r dt − = = 从而有 所以流完一桶水所需时间可写为“积分” − = h dx r g h x R t 0 2 2 2 ( ) 但是因为这里的被积函数是[ 0 , h )上的无界函数，故 2 2 2 0 2 2 2 ( ) 2 lim 2 ( ) lim = − − = − = → − → − r R g h h h u r R g dx r g h x R t u h u u h
从上面的例题我们知道,通过定积分和极限就可以定义无穷区间以及 无界函数的“积分” 二.无穷区间上的反常积分 1定义 无穷区间有三种,分别给出其定义 (1)[a,+∞)上 定义1:设f(x)在[a,+)上有定义,对任何2a,f(x)在[a,1l可积, 若存在极限 lim f(x)dx=J →)+0Ja 则称J为函数f(x)在[a,+∞)上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记为 +∞ 并称∫”f(x女收敛。如果极限(1)不存在,称∫”(x女发散
从上面的例题我们知道，通过定积分和极限就可以定义无穷区间以及 无界函数的“积分”。 二. 无穷区间上的反常积分 1.定义 无穷区间有三种，分别给出其定义： (1) [a,+ ) 上 定义1： 则称 为函数 在 上的 若存在极限 设 在 上有定义，对任何 ， 在 上可积， ( ) [ , ) lim ( ) (1) ( ) [ , ) ( ) [ , ] + = + →+ J f x a f x dx J f x a u a f x a u u u a 无穷限反常积分（简称无穷积分）,记为 + = a J f (x)dx + a 并称 f (x)dx 收敛。如果极限（1）不存在， + a 称 f (x)dx 发散
注意:(1)从本质上说,当无穷积分「(x)收敛时它是一个数(极限值); a i无穷积分∫。(x)发散时它只是一个记号 (2)。f(x)敛的几何意义是:若f(x)在[a,+)上为非负连续函数, 则其值就是介于曲线y=f(x),直线x=a以及x轴之间那一块向右 无限延伸的区域的面积。(如右下图) y=f(x) 同理可给出 (2)(-∞,b]上 f(r)dx= lim f(x)dx (3)(-∞,+∞)上 oa 若(x)在任何有限区间v,u]<(-∞,+∞)上可积,则对va∈(-∞,+∞) + X)ax f(x) dx+f()dx=lim f(x)dx+ lim f(x)dx 0 →)+0da 当且仅当上式右边两个无穷积分都收敛时,左边的无穷积分才收敛。 注意 ∫ f(x)dx的收敛性与收敛时的值,都与实数a的选取无关
注意： 从本质上说，当无穷积分 收敛时它是一个数（极限值）； + a (1) f (x)dx 当无穷积分 发散时它只是一个记号。 + a f (x)dx 无限延伸的区域的面积。（如右下图） 则其值就是介于曲线 ，直线 以及 轴之间那一块向右 收敛的几何意义是：若 在 上为非负连续函数， y f x x a x f x dx f x a a = = + + ( ) (2) ( ) ( ) [ , ) 同理可给出 (2) (−,b]上 − →− = b u u b f (x)dx lim f (x)dx (3) (−,+ )上 若f (x)在任何有限区间[v,u] (−,+ )上可积，则对a(− , + ) + − + − = + a a f (x)dx f (x)dx f (x)dx →− →+ = + u u a a u u lim f (x)dx lim f (x)dx 当且仅当上式右边两个无穷积分都收敛时，左边的无穷积分才收敛。 注意： + − f (x)dx 的收敛性与收敛时的值，都与实数a的选取无关。y = f (x) O x y a
2.利用定义讨论无穷积分的敛散性以及求其值 方法:先求相应的定积分,再讨论其极限是否存在,若存在,无穷积分收敛, 极限值就是无穷积分的值;若极限不存在,无穷积分发散。 +∞1 例3:讨论无穷积分的敛散性。 结论: x1p≠1 解:Vu>1 dx P P (1)当>时收敛, (--1)p 值为—; In u (2)当≤时发散 P P l→)+0 +∞p<1 l→)+0 要求熟记 + dx=lmn「ax=p P
2. 利用定义讨论无穷积分的敛散性以及求其值 方法：先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，无穷积分收敛， 极限值就是无穷积分的值；若极限不存在，无穷积分发散。 例3： ＋ 讨论无穷积分 的敛散性。 1 1 dx x p = = − − u u p u p x p x p dx p x u 1 1 1 1 ln 1 1 1 1 1 解： 1 = − = − − ln 1 ( 1) 1 1 1 1 u p u p p p = + + = →+ − →+ u p p u u p u lim ln 1 0 1 lim 1 + →+ + = = − 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 p p dx p x dx x u p u p 结论： ＋ 1 1 dx x p 值为 ； 当 时收敛， 1 1 (1) 1 − p p (2)当p 1时发散。 要求熟记
注意:此结论可以推广为:∨a>0 °P小当时收敛:雨当1时发散。 下面再看如何利用此结论解题 例4:讨论无穷积分 dx的敛散性。 2 x(n x) 解题思路:无穷积分是通过定积分及极限来定义,可以考虑用定积分的有关 方法如换元积分法或分部积分法来处理 解:设l=hnx,则 2 x(n x ln2〃P 由上例的结论得:该无穷积分当p>l时收敛;而当p≤l时发散 3.利用公式判别无穷积分的敛散性及求无穷积分的值 在定积分里,我们有牛顿一莱布尼兹公式: f(xlbx=h(x)b=F(b)-F()(其中F(x是(x)的一个原函数) b
注意： 当 时收敛；而当 时发散。 此结论可以推广为： ＋ 1 1 1 0 dx p p x a a p 下面再看如何利用此结论解题 例4： ＋ 讨论无穷积分 的敛散性。 2 (ln ) 1 dx x x p 解题思路：无穷积分是通过定积分及极限来定义，可以考虑用定积分的有关 方法如换元积分法或分部积分法来处理 du u dx x x u x p p + = = ＋ 解：设 ，则 2 l n 2 1 (ln ) 1 ln 由上例的结论得：该无穷积分当p 1时收敛；而当p 1时发散。 3. 利用公式判别无穷积分的敛散性及求无穷积分的值 在定积分里，我们有牛顿－莱布尼兹公式： = = − b a b a f (x) dx F(x) F(b) F(a) (其中F(x)是 f (x)的一个原函数）
既然无穷积分是通过定积分及极限来定义,所以也可以考虑用类似的公式 来判别无穷积分的敛散性及计算无穷积分。 公式:设F(x是f(x)的一个原函数,则 ∫n f(x)dx=F(x)4=lim F(x)-F(a x→+0 其中当mF(x)在时,。fx)h收敛,右边求出的就是其值 X→+00 当mF(x)不存在时,。f(x)ax发散。 x→ 注意:上面的公式可以推广到另外两种无穷积分的情形 例5:讨论无穷积分 dx的收敛性,若收敛求其值 -∞1+x 解: dx=arctan x t= lim arctan x- lim arctan x -∞1+x X→+0 x→-0 故无穷积分二 ax收敛,其值为π ∞1+x
既然无穷积分是通过定积分及极限来定义，所以也可以考虑用类似的公式 来判别无穷积分的敛散性及计算无穷积分。 公式： + →+ + = = − a x f x dx F x a F x F a F x f x ( ) ( ) lim ( ) ( ) 设 ( )是 ( )的一个原函数，则 其中当 存在时， 收敛，右边求出的就是其值； + x→+ a lim F(x) f (x) dx 当 不存在时， 发散。 + x→+ a lim F(x) f (x) dx 注意：上面的公式可以推广到另外两种无穷积分的情形。 例5： − + ＋ 讨论无穷积分 dx的收敛性，若收敛求其值。 x 2 1 1 = = − − = = − + + − →+ →− + 2 2 arctan lim arctan lim arctan 1 1 2 dx x x x x x x 解： a − + ＋ 故无穷积分 dx收敛，其值为。 x 2 1 1
无界函数的反常积分 1.瑕点的定义 若函数(x)在点x的近旁是无界的,则称x为函数f(x)的瑕点。 2.无界函数反常积分的定义 定义2:设f(x)在(a,b止上有定义,点a是f(x)的瑕点(f(x)在点a的任一右邻域 无界),但在任何闭区间[u,b]<(a,b上有界且可积。若存在极限 b lim f(x)dx 11→)a 则称此极限八/为无界函数f(x)在(a,b上的反常积分(简称瑕积分),记为 b fx )dx baba 并称[f(x)收敛如果极限(2)不存在,称[f(x)发散。 注意:与无穷积分类似,从本质上说,当瑕积分f(x)收敛时它是一个数 (是一个极限值);当瑕积分/(x)发散时它只是一个记号
三. 无界函数的反常积分 1.瑕点的定义 若函数f (x)在点x0的近旁是无界的，则称x0为函数f (x)的 瑕点。 2.无界函数反常积分的定义 定义2： 则称此极限 为 无界）但在任何闭区间 上有界且可积。若存在极限 设 在 上有定义，点 是 的瑕点 在点 的任一右邻域 J f x dx J u b a b f x a b a f x f x a b u a u = → + lim ( ) (2) , [ , ] ( , ] ( ) ( , ] ( ) ( ( ) 无界函数 f (x)在(a,b]上 的反常积分（简称瑕积分），记为 = b a J f (x) dx b a 并称 f (x) dx 收敛。 b a 如果极限（2）不存在，称 f (x) dx 发散。 注意： （是一个极限值）；当瑕积分 发散时它只是一个记号。 与无穷积分类似，从本质上说，当瑕积分 收敛时它是一个数 b a b a f x dx f x dx ( ) ( )
同理可以给出另外几种情形的定义: (1)若点b是f(x)瑕点(f(x)在点b的任一左邻域无界) ∫。f(x)=hmn∫/(x)d (2)若点c∈(a,b)是f(x)的瑕点(f(x)在点c的任一邻域无界) b b f(r)dx=f(x)dx+f(x)dx li, f(x)dx+ lim[f()dx V→C 当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才收敛。 (3)若点a、b都是f(x)瑕点,则vc∈(a,b) f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx im「f(x)x+imn[f(x)tx l4→)a y→b-Jc 当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才收敛。 注意:∫(x)d的收敛性与收敛时的值,都与实数c的选取无关
同理可以给出另外几种情形的定义： → = u u b a b a f x dx f x dx b f x f x b ( ) lim ( ) (1) ( ) ( ( ) _ 若点 是 的瑕点 在点 的任一左邻域无界） → − → + = + = + b v c v u u c a c a b c b a f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx c a b f x f x c lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) (2) 若点 ( , )是 ( )的瑕点( ( )在点 的任一邻域无界） 当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才收敛。 → + → − = + = + v v b c c u a u c a b c b a f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx a b f x c a b lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) (3) 若点 、 都是 ( )的瑕点，则 ( , ) 当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才收敛。 注意： f x dx的收敛性与收敛时的值，都与实数c的选取无关。 b a ( )
