第二1一章重积分 §1二重积分的概念 教学内容:1.二重积分的定义 2二重积分存在的条件 3二重积分的性质
第二十一章 重积分 §1 二重积分的概念 教学内容：1.二重积分的定义 2.二重积分存在的条件 3.二重积分的性质
平面图形的面积 1平面图形有界 12 有矩形R,使PcR 1112 2平面图形的面积2 所有类小矩形面积总和记为sn(7) 所有1类及2类小矩形面积总和记为Sn(T) 内面积sp{s2(7)}=L外面积iS()}=Ip P可求面积台内面积Ln=外面积Ip
平面图形的面积 1.平面图形有界 2.平面图形的面积 11 1 1 1 111 11 2 2 2 22 2 2 22 2 22 2 2 2 2 222 2 1 s ( T ) 所有 类小矩形面积总和记为 p 1 2 S (T) 所有 类及 类小矩形面积总和记为 p p p 内面积 sup{ s ( T)} = I p p 外面积 inf{ S ( T)} = I p p P可求面积 内面积 I ＝外面积 I 有矩形R , 使P R
问题的提出 1.曲顶柱体的体积 设f(x,y)为定义在可求面积的有界闭区域D上 的非负连续函数,求以曲面z=f(x,y)为顶, D为底的柱体的体积V =f(r,y ■■■■■■■■ ■■■■■■■ D ■■■■■■■■ 平顶柱体体积=底面积×高柱体体积=? 特点:平顶 特点:曲顶
平顶柱体体积=底面积×高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. z = f (x, y) D １．曲顶柱体的体积 一、问题的提出 为底的柱体的体积 。 的非负连续函数，求以曲面 为顶， 设 为定义在可求面积的有界闭区域 上 D V z f x y f x y D ( , ) ( , ) =
求曲顶柱体的体积思想方法 以平代曲,以不变代变 求曲顶柱体的体积采用“分割、代替、 求和、取极限”的方法,具体步骤如下: (1)分割 把曲顶柱体的底任意分为n个小区域,其面积为△σ 把曲顶柱体分为n个小曲顶柱体,其体积为△V 任选一个小曲顶柱体
求曲顶柱体的体积思想方法 ——以平代曲，以不变代变 求曲顶柱体的体积采用 “分割、代替、 求和、取极限”的方法，具体步骤如下： (1)分割 把曲顶柱体的底任意分为n个小区域， 其面积为 i 把曲顶柱体分为n个小曲顶柱体， 其体积为Vi 任选一个小曲顶柱体
(2)代替 (51,71)∈ f(,y) 以f(52)为高, ,为底的平顶柱体 代替曲顶柱体 △H7≈f(51,n7)△ (21,) (3)求和 用n个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积 V∑f(5,m)△o
x z y o D z = f (x, y) i • ( , ) i i (2)代替 i i i ( , ) 代替曲顶柱体 为底的平顶柱体 以 为高， i i i f ( , ) i i i i V f ( , ) (3)求和 用n个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积 ( , ) . 1 i i n i i V f =
(4)求极限 曲顶柱体的体积y=im∑f(5,m)a 其中2=max{△a的直径 2.求平面薄片的质量 设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域 D,在点(x,y)处的面密度为p(x,y),假定 p(x,y)在D上连续,平面薄片的质量为多少? 当(x,y)=时,M=p·△D 思想方法:以均匀代非均匀曲,以不变代变
曲顶柱体的体积 lim ( , ) . 1 0 i i n i i V f = = → (4)求极限 其中 ＝ { 的直径} i i nax ２．求平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域 D，在点(x, y)处的面密度为( x, y)，假定 ( x, y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？ 思想方法：以均匀代非均匀曲，以不变代变 当（x, y) = 时，M = D
分割、代替、求和、取极限 将薄片分割成若干小块, 取典型小块,将其近似 看作均匀薄片, ,n 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 △ M=im∑p(51,m)△σ →>0
i • ( , ) i i 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 lim ( , ) . 1 0 i i n i M i = = → x y o 分割、代替、求和、取极限
二、二重积分的概念 1定义设∫(x,y)是有界闭区域D上的有界函数, 将闭区域D任意分成n个小闭区域△a1 △a2,…,△σn其中Δσ表示第个小闭区域, 也表示它的面积在每个△a;上任取一点(51,m), 作乘积∫(5;,mn)△a; 并作和∑f(5,m)△o
定 义 设 f (x, y)是有界闭区域D上的有界函数， 将 闭 区 域 D 任意分成 n 个 小 闭 区 域 1 ， 2 , ， n，其中 i表示第i个小闭区域， 也表示它的面积，在每个 i上任取一点( , ) i i ， 作乘积 ( , ) i i f i， (i = 1,2,,n)， 并作和 i i n i i f = ( , ) 1 ， 二、二重积分的概念 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 ∫(x,y)在闭区域D上的二重积分, 记为f(x,y)da, 即帅(,nKG上m(5,o 积被积 被面 分积分 积积积 区函变 域数量 表达式 元分 素和
积分区域 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分， 记为D f (x, y)d ， 即D f (x, y)d i i ni i f = = → lim ( , ) 1 0 . 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素
2对二重积分定义的说明: (1)在上述极限中,要求对任意的分割及任意的介点 极限均存在且相等; (2)二重积分定义的另一说法: 设/一个确定的数,若∨E>0,3δ>0,对VT,只要 <6对v(,n)∈a,有∑/(5,na-小|<6 (3)当已知二重积分存在,要求其值时,可以采用 特殊的分割,以方便计算;
2.对二重积分定义的说明： (2) 二重积分定义的另一说法： − = T f J J T n i i i i i i i 1 , ( , ) , ( , ) 0, 0, , 对 有 设 为一个确定的数，若 对 只要 (1)在上述极限中，要求对任意的分割及任意的介点 极限均存在且相等； (3) 当已知二重积分存在，要求其值时，可以采用 特殊的分割，以方便计算；
