广州大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）22.3 高斯公式与斯托克斯公式

§3高斯公式与斯托克斯公式 教学内容:1利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分; 2斯托克斯公式; 3空间曲线第二型曲线积分与路径无关 的条件。 教学重点:利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分 教学难点:斯托克斯公式

§3 高斯公式与斯托克斯公式 教学内容：1.利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分； 2.斯托克斯公式； 3.空间曲线第二型曲线积分与路径无关 的条件。 教学重点：利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分 教学难点：斯托克斯公式

高斯公式 1.公式:设空间区域Ω由分片光滑的双侧封闭曲面 2围成,函数P(x,y,)、Q(x,y,z)、 R(x,y,x)在Ω上具有 阶连续偏导数,则有公式 ∫+,+a)=J∫P+d+Rdd 少 高斯公式 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧

1.公式：设空间区域 由分片光滑的双侧封闭曲面 Σ围成,函数P( x, y,z)、Q( x, y,z)、 R( x, y,z)在 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式                dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 一 、高 斯 公 式 这里是的整个边界曲面的外侧 高斯公式

2几点说明: ① Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面 上的曲面积分之间的关系 ② Gauss公式中第二型曲 面积分一定为封闭面, 若不是封闭面,要添加 特殊的曲面或平面才能 用Gaus公式。 ③与格林公式的异同

x y z o 1 2 3  Dxy 2.几点说明： ①Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面 上的曲面积分之间的关系. ②Gauss公式中第二型曲 面积分一定为封闭面， 若不是封闭面，要添加 特殊的曲面或平面才能 用Gauss公式。 ③与格林公式的异同

④利用GauS公式可以得出用曲面积分求体积的公式 P=X,0=y,r=z OP OO OR ++)v=|3coy Axdyd2=+yd=dx+Eddy 体积d+1a+dh

                  xdydz ydzdx zdxdy dv dxdydz z R y Q x P ( ) 3 ④利用Gauss公式可以得出用曲面积分求体积的公式 P  x,Q  y, R  z    V  xdydz  ydzdx  zdxdy 3 1 体积

例1计算曲面积分 (x-y)dxdy+(y-z)xdydz 其中Σ为柱面x2+y2=1及平 面z=0,了=3所围成的空间闭 区域Ω的整个边界曲面的外侧 x 由高斯公式:原式=0y=)dt 2丌 do drl(rsin)rdz

例1 计算曲面积分 (x  y)dxdy  ( y  z)xdydz   其中Σ为柱面 1 2 2 x  y  及平 面z  0,z  3所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧. x o z y 1 1 3   由高斯公式：原式＝ ( y  z)dxdydz        2 0 3 0 1 0 ＝ d dr (rsin z)rdz 4 9 ＝

例2:P289习题1(1)、(2) 练习:P289习题1(2)、P295习题1(1)、(2) 二、斯托克斯( stokes)公式 1双测曲面∑的侧与边界曲线方向的规定 右手法则 r是有向曲面∑的 正向边界曲线

例2：P289习题1(1)、（2） 练习：P289习题1（2）、P295习题1（1）、（2） 二、斯托克斯(stokes)公式 1.双测曲面∑的侧与边界曲线Γ方向的规定 n    右手法则 是有向曲面 的 正向边界曲线  

2.斯托克斯( stokes)公式 定理设为分段光滑的空间有向闭曲线,∑是以 F为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与∑的 侧符合右手规则,函数P(x,y,x),Q(x,y,z) R(x,y,x在包含曲面∑在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数,则有公式 OR 00 aP aR 00 aP )dydz+( )dude dxd小 ay az oz ax ax ay Pax +ody+ rdz 斯托克斯公式 其中∑的侧与的方向按右手法则确定

2.斯托克斯(stokes)公式 定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与的 侧符合右手规则, 函数P( x, y,z),Q( x, y,z), R( x, y,z)在包含曲面在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数, 则有公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )                       Pdx  Qdy  Rdz 斯托克斯公式 其中∑的侧与Г的方向按右手法则确定

3几点说明 ① Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系 ②便于记忆形式 dydz dzdx dxdy 000 =kPdx+ody+rdz ax ay az P2 R

            Pdx Qdy Rdz P Q R x y z dydz dzdx dxdy ②便于记忆形式 3.几点说明： ①Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系

⑧当Σ是xoy面的平面闭区域时 斯托克斯公式特殊情形格林公式 例3计算曲线积分2+)+(x=1+=x), 其中『是平面x+y+z=1被三坐标面所截成的 角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则

斯托克斯公式 特殊情形 格林公式 当Σ是xoy面的平面闭区域时 例 3 计算曲线积分 (2y  z)dx  (x  z)dy  (y  x)dz  , 其中是平面 x  y  z  1被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. 0 Dxy x y z n 1 1 1 ③

空间曲线积分与路径无关的条件 1空间单连通区域 设Ω为空间区域,如果Ω内任一闭曲线均 可以不经过以外的点而连续地收缩为属于2 的一点,则称9为空间单连通区域,否则称为 复连通区域 单连通区域 复连通区域

三、空间曲线积分与路径无关的条件 设为空间区域, 如果内任一闭曲线均 可以不经过以外的点而连续地收缩为属于 的一点，则称为空间单连通区域, 否则称为 复连通区域. 单连通区域 复连通区域 1.空间单连通区域 G G