§3瑕积分的性质与收敛判别 教学内容: 1.瑕积分的性质 2.瑕积分收敛的判别 说明:()本节的内容类似于上节无穷积分的相应的内容; (2)以下只给出[f(x)(a.瑕点)性质及收敛判别, 其它几种情形类似可得。 瑕积分的性质 设F()f(x)h,则」f(x)d女收敛与否取决于F()当n→a时 是否存在极限。由极限存在的柯西准则可得 1.瑕积分收敛的柯西准则
§3 瑕积分的性质与收敛判别 教学内容： 1. 瑕积分的性质 2. 瑕积分收敛的判别 其它几种情形类似可得。 以下只给出 为瑕点）的性质及收敛判别， 说明： 本节的内容类似于上节无穷积分的相应的内容； b a (2) f (x)dx(a (1) 一. 瑕积分的性质 是否存在极限。由极限存在的柯西准则可得 设F u = f x dx，则 f x dx收敛与否取决于F u 当u → a + 时 b a b u ( ) ( ) ( ) ( ) 1. 瑕积分收敛的柯西准则
定理5:瑕积分(xhx(a为瑕点收敛的充要条件是:任给>0, 存在δ>0,只要u1、l2∈(an,a+6),便有 ∫()=k6 2.瑕积分的性质 性质1:设函数与的瑕点同为x=a若J,(x)与,(对)都收敛, k、k为任意常数,则k(x)+k1(x也收敛,且 Ak/(x)+k2(x)=人J(x)+k2。1(x 性质2:设函数∫f的瑕点为x=a,c∈(a,b)为任一常数。则瑕积分 ∫(xk与J(x)同敛态,且有 CA(x)dx=l f(x dx+lf(x)dx (2) 其中右边第二项是定积分
− = + 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( , ) ( ) ( 0 1 2 u u b u b u b a f x dx f x dx f x dx u u a a f x dx a 存在 ，只要 、 ，便有 定理11.5： 瑕积分 为瑕点）收敛的充要条件是：任给 ， 2. 瑕积分的性质 性质1： + = + + = b a b a b a b a b a b a k f x k f x dx k f x dx k f x dx k k k f x k f x dx f f x a f x dx f x dx [ ( ) ( )] ( ) ( ) (1) [ ( ) ( )] , ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 、 为任意常数，则 也收敛，且 设函数 与 的瑕点同为 若 与 都收敛， 性质2： 其中右边第二项是定积分。 与 同敛态，且有 设函数 的瑕点为 为任一常数。则瑕积分 = + = b a b c c a c a b a f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x a c a b ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) , ( , )
3.瑕积分的绝对收敛与条件收敛 设函数的瑕点为x=a若瑕积分(x)收敛,则称 瑕积分门/()hk绝对收敛:若1x)发散,而(xk收敛 则称瑕积分(x条件收敛。 性质3:设函数的瑕点为x=a,f在(a,b的任一内闭区间[,b]上可积。 则当∫(x)收敛时,∫/(x)d亦必收敛,且有 f(x< If(x)dx (3) 说明:性质3指出:绝对收敛的瑕积分必收敛,但反之未必。 (今后举例说明)
3. 瑕积分的绝对收敛与条件收敛 设函数 的瑕点为 = 若瑕积分 收敛，则称 b a f x a, f (x) dx 绝对收敛； 若 发散，而 收敛， b a b a f (x) dx f (x)dx 条件收敛。 b a 瑕积分 f (x) dx b a 则称瑕积分 f (x) dx 性质3： = b a b a b a b a f x dx f x dx f x dx f x dx f x a f a b u b ( ) ( ) (3) ( ) ( ) , ( , ] [ , ] 则当 收敛时， 亦必收敛，且有 设函数 的瑕点为 在 的任一内闭区间 上可积。 说明：性质3指出：绝对收敛的瑕积分必收敛，但反之未必。 （今后举例说明）
瑕积分敛散性的判别 条件:当(x)≥0时 1.瑕积分收敛的比较判别法 (1)不等式形式 定理16:设定义在(a,b上的两个非负函数和g瑕点均为x=a 都在任何区间[u,b]c(a,b]上可积,且满足 f(x)≤g(x),x∈(a,b] 则(①当8(x)收敛时,f(x)必收敛; (2)当f(x)x发散时,g(x)d发散 定理指出:大收敛则小收敛;小发散则大发散。(与级数类似)
二. 瑕积分敛散性的判别 条件：当f (x) 0时 1. 瑕积分收敛的比较判别法 （1）不等式形式 定理11.6： （ ）当 发散时， 必发散。 则（）当 收敛时， 必收敛； ， 都在任何区间 上可积，且满足 设定义在 上的两个非负函数 和 瑕点均为 = b a b a b a b a f x dx g x dx g x dx f x dx f x g x x a b u b a b a b f g x a 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ] [ , ] ( , ] ( , ] , 定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散。（与级数类似）
(2)极限形式 推论1:设函数和g瑕点同为x=a,f(x)≥0,8(x)>0,且它们都在 任何区间[,bc(a6上可积,若有linf(x) C,则有 x→)a g(x (1)当0<c<+时,f(x)与g(x)d同敛态; (2)当c=O时,由g(x)收敛可推知f(x)h收敛 (3)当c=+时,由g(x)发散可推知(x)d发散。 注意:1.推论中,当c=0时只能判别收敛;当c为正无穷大时 只能判别发散; 2用此推论时要找分母的gx)且8(x)b的敛散性要知道 3找g(x)的时候最好使极限是一个非0的常数
（2）极限形式 推论1： 任何区间 上可积，若有 则有： 设函数 和 瑕点同为 且它们都在 ＋ , ( ) ( ) [ , ] ( , ] lim , ( ) 0, ( ) 0, c g x f x u b a b f g x a f x g x x a = = → （ ）当 时，由 发散可推知 也发散。 （ ）当 时，由 收敛可推知 也收敛； （）当 时， 与 同敛态； = + = + b a b a b a b a b a b a c g x dx f x dx c g x dx f x dx c f x dx g x dx 3 ( ) ( ) 2 0 ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ) 注意：1.推论中，当c=0时只能判别收敛；当c为正无穷大时 只能判别发散； 2.用此推论时要找分母的g(x)且 的敛散性要知道； b a g(x)dx 3.找g(x)的时候最好使极限是一个非0的常数
特殊地,取g(x) 可以得柯西判别法 d-a 2.瑕积分收敛的柯西判别法 推论2:(不等式形式)设定义在(a,b,a为其瑕点,f(x)≥0, 且在任何区间[,b上可积,则有: (1)当f(x)≤ (xa,且0<P<时」f(x)d敛 (2)当(x)21,PP时,f(x)发散。 d-a 推论3:(极限形式)设定义在(a,b],a为其瑕点,f(x)≥0,且在任 区间[u,b]←(a,b上可积,如果lm(x-a)f(x)=λ,则有: x→ (1)当0<p<1,0≤<+时,f(x)收敛 (2)当≥1,0<4≤+0时,「f(x)发散
特殊地，取 p 可以得柯西判别法 x a g x ( ) 1 ( ) − = 2. 瑕积分收敛的柯西判别法 且在任何区间 上可积，则有： 不等式形式）设 定义在 为其瑕点 [ , ] ( ( , ], , ( ) 0, u b 推论2： f a b a f x （ ）当 且 时 发散。 （）当 且 时 收敛； − − b a p b a p p f x dx x a f x p f x dx x a f x , 1 , ( ) ( ) 1 2 ( ) , 0 1 , ( ) ( ) 1 1 ( ) 推论3： 区间 上可积，如果 ，则有： 极限形式）设 定义在 为其瑕点 且在任何 − = → + [ , ] ( , ] lim ( ) ( ) ( ( , ], , ( ) 0, u b a b x a f x f a b a f x p x a （ ）当 时 发散。 （）当 时 收敛； + + b a b a p f x dx p f x dx 2 1,0 , ( ) 1 0 1,0 , ( )
注意:1实际应用中,常用推论3; 2用推论3时要找p使同时满足p及的条件; 3找p的时候最好使极限是一个非0的常数。 例1:讨论下列瑕积分的收敛性: 解题思路:1.解题前要先判别瑕点是哪个; 2要用柯西判别法必须保证被积函数是非负函数。 解:(1)由于0
注意：1.实际应用中，常用推论3； 2.用推论3时要找p,使同时满足p及 的条件； 3.找p的时候最好使极限是一个非0的常数。 例1：讨论下列瑕积分的收敛性： 2 1 1 0 ln (2) ln 1 dx x x dx x x （） ； 解题思路：1.解题前要先判别瑕点是哪个； 2.要用柯西判别法必须保证被积函数是非负函数。 解:(1) x x x x x ln 0, (0,1] ln 由于 ，所以考虑− 再因为 所以 是 的瑕点 x x x x x x ln ) , 0 ln lim ( 0 − = = − → + lim (4 ) 0 ln ) lim ln lim ( 4 1 0 4 1 0 4 3 0 − = − = = + + → + → → − x x x x x x x x x 由于
此时p=3,=0,所以由推论3得-是收敛的 X 件与(M是同敛散的,所以x是收敛的。 0 (2)yx>0x∈(,2},因为mnyx=,所以x=1是,yx的瑕点 由于lm(x-1) √x=1im hnxx→l+hnx 此时p=1,=1所以由推论3得门yx是发散的 I In x 下面看一个无穷积分及瑕积分的综合例子: 例2:讨论反常积分(a)=01+x dx的收敛性 解题思路:此题既是无穷积分也是瑕积分(x=0是瑕点),要分开考虑
, ln 0, 3 4 3 1 0 此时 ， 所以由推论 得 dx是收敛的 x x p = = − , ln 1 ln 0 1 0 而 与 dx是同敛散的 x x dx x x − 所以 dx是收敛的。 x x 1 0 ln (2) 0, (1,2]， ln x x x 因为 所以 是 的瑕点 x x x x x x ln , 1 ln lim 1 = = → + 1 ln 1 lim ln lim ( 1) 1 1 = − − = → + → + x x x x x x x 由于此时 ， 所以由推论 得 dx是发散的。 x x p = = 2 1 ln 1 1, 3 下面看一个无穷积分及瑕积分的综合例子： 例2：讨论反常积分 dx的收敛性。 x x + − + = 0 1 1 ( ) 解题思路：此题既是无穷积分也是瑕积分(x=0是瑕点),要分开考虑
解:(a)=「dt+ dx=l(a)+J(a) 1+x 先讨论(a) 1+x (1)当a-1≥0,即a≥时它是定积分 (2当a-10 1+x 00,4=时,/(a)收敛; 当=1-a≥1,即Q≤0,=时,I(a)发散。 +∞0 再讨论/(a))1+x ax 由于lm lim 1,由上节推论3可知 x→+ +xx→)+∞1+x
解: ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 1 1 0 1 dx I J x x dx x x = + + + = + − − ＋ 先讨论 dx： x x I + = − 1 0 1 1 ( ) (1)当－1 0，即 1时它是定积分； (2)当－1 0，即 1时它是瑕积分，x = 0是瑕点。 由于 － 1,由推论3可知 1 lim 1 1 0 = + − → + x x x x 当0 p =1− 1，即 0, =1时，I()收敛； 当p =1− 1，即 0, =1时，I()发散。 再讨论 dx： x x J + − + = 1 1 1 ( ) 由于 － 1,由上节推论3可知 1 lim 1 lim 1 2 = + = + →+ − →+ x x x x x x x
当=2-a>1,即a<,元=时,J/(a)收敛 抑=2-a≤1,即α≥1,λ=时,J(a)发散。 综上所述,把讨论结果列表如下: C<0 0<c<1 C≥ (a)发散 收敛 定积分 ()收敛 收敛 发散 0(a)发散 收敛 发散 由此可见,反常积分(a)只有当0<a<时才是收敛的
当p = 2 − 1，即 1, =1时，J()收敛； 当p = 2 − 1，即 1, =1时，J()发散。 综上所述，把讨论结果列表如下： I() J () () 0 0 1 1 发散 发散 发散 发散 收敛 收敛 收敛 收敛 定积分 由此可见，反常积分 ()只有当0 1时才是收敛的