第二节函数极限的性质 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn
第二节 函数极限的性质 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn
六种极限 lim f(; lim f (x); x→+0 x→x lim f(x); lim f(r); x→一0 x→>x0 lim f() lim f(x); x→0 x→>0
六种极限 lim f (x); x→+ lim f (x); x→− lim f (x); x→ lim ( ); 0 f x x→x lim ( ); 0 f x x x → + lim ( ); 0 f x x x → −
函数极限的性质 1局部有界性 定理若当x→x时f(x)有极限,则存在x 的一个邻域U/(x),在此邻域内f(x)有界 2唯一性 定理若limf(x)存在,则极限唯一
一 函数极限的性质 1.局部有界性 定 理 若 当x → x0时 f (x) 有极限,则存在 x0 的一个邻域 ( ) 0 0 U x ,在此邻域内f (x) 有界. 2.唯一性 定理 若lim f ( x)存在,则极限唯一
3局部保号性 定理若lmf(x)=A,且A>0或40,当x∈U"(x,δ)时,f(x)>0或f(x)0,当x∈U"(x0,δ)时,f(x)≥0或f(x)≤0), 且im∫(x)=A,则A≥0(或4≤0) x→x 4局部保不等性 设limf∫(x)与lmg(x)都存在,且在某邻域 定理 x→x x→x U0(xni:δ肭内有f(x)≤g(x,则imf(x)≤limg(x) x→x
, x U x , , f x f x . lim f x A, A A x x 0 ( ) ( ) 0( ( ) 0) ( ) 0( 0), 0 0 0 = → 则 当 时 或 若 且 或 定理 lim ( ) , 0( 0). 0, ( , ) , ( ) 0( ( ) 0), 0 0 0 = → f x A A A x U x f x f x x x 且 则 或 推论 若 当 时 或 3.局部保号性 4.局部保不等性 ( ; ) ( ) ( ), lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 0 0 0 U x f x g x f x g x f x g x x x x x x x x x → → → → 内 有 则 设 与 都存在，且在某邻域 定理
5夹逼准则 设lm∫(x)=limg(x)=A,且在某U/(x0;内有 x→x x→>x0 ∫(x)≤h(x)≤g(x) 则lim(x)=A. x→x 本定理既给出了判别函数极限存在的方法;又提供 了一个计算函数极限的方法
5.夹逼准则 本定理既给出了判别函数极限存在的方法；又提供 了一个计算函数极限的方法。 lim ( ) . ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) , ( ; ) 0 0 0 0 0 h x A f x h x g x f x g x A U x x x x x x x = = = → → → 则 设 且在某 内 有
6、极限运算法则 设limf(x)=A,img(x)=B,则 x→>x0 x→x (1)im(f(x)±g(x)=A±B; x→x (2)limf(x)·g(x)=A·B; x→>x0 (3)lim f(r) x-xo g(x) B 其中B≠0
6、极限运算法则 , 0. ( ) ( ) (3) lim (2) lim ( ) ( ) ; (1) lim ( ( ) ( )) ; lim ( ) , lim ( ) , 0 0 0 0 0 = = = = = → → → → → B B A g x f x f x g x A B f x g x A B f x A g x B x x x x x x x x x x 其 中 设 则
求极限方法举例 例1求lm x x→+2x2-3x+5 解im(x2-3x+5)= →2 lim xlim 3x + lim 5 x→2 =(limx)'-3imx+ lim5 →2 x→2 22-32+5=3≠0, x3-1 limx'-lim1 23-17 2x2-3x+5lim(x2-3x+5) lim 2 3 x→>2
二、求极限方法举例 例1 . 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 求 解 lim( 3 5) 2 2 − + → x x x lim lim3 lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x (lim ) 3lim lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x 2 3 2 5 2 = − + = 3 0, 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x lim( 3 5) lim lim1 2 2 2 3 2 − + − = → → → x x x x x x . 3 7 = 3 2 1 3 − =
小结:1设f( x)=a0x"+a1x"-+…+an,则有 imnf(x)=ao(imx)”+a1(limx)"+…+an x→x x→x x→x n-1 =ar +a +…+an=f(x0) 2设f(x)= q(t),且Q(x)≠0,则有 im∫(x)=,0 lim P()Plo=f(o) x→x lim g(r) 2(xo) 若Q(x0)=0,则商的法则不能应用
小结: 1.设 f (x) = a0 x n + a1 x n−1 ++ an ,则有n n x x n x x x x f x = a x + a x + + a − → → → lim ( ) 0 ( lim ) 1 ( lim ) 1 0 0 0 n n n = a x + a x + + a − 1 0 0 1 0 ( ). x0 = f 设 , 且 ( ) 0, 则有 ( ) ( ) 2. ( ) = Q x0 Q x P x f x lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 Q x P x f x x x x x x x → → → = ( ) ( ) 0 0 Q x P x = ( ). x0 = f ( ) 0, . 若Q x0 = 则商的法则不能应用
4x-1 例2求mm x→1x2+2x-3 解lim(x2+2x-3)=0,商的法则不能用 又∴lim(4x-1)=3≠0, x→ x2+2x-30 x→14x-13 由无穷小与无穷大的关系得 4x-1 =Q。 x1x2+2x-3
解 lim( 2 3) 2 1 + − → x x x = 0, 商的法则不能用 lim(4 1) 1 − → x x 又 = 3 0, 4 1 2 3 lim 2 1 − + − → x x x x 0. 3 0 = = 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 . 2 3 4 1 lim 2 1 + − − → x x x x 求 . 2 3 4 1 lim 2 1 = + − − → x x x x
x2-1 例3求Mm?+2x-3 x-1 解x→时分子分母的极限都是零(0型) 先约去不为零的无穷小因子x-1再求极限 x2-1 m =lim(x+1)(x-1 x→1x2+2x-3xl(x+3)(x-1) =lim e+I x→1y+32 (消去零因子法)
解 例3 . 2 3 1 lim 2 2 1 + − − → x x x x 求 x →1时,分子,分母的极限都是零. 先约去不为零的无穷小因子x − 1后再求极限. ( 3)( 1) ( 1)( 1) lim 2 3 1 lim 1 2 2 1 + − + − = + − − → → x x x x x x x x x 3 1 lim 1 + + = → x x x . 2 1 = ) 0 0 ( 型 (消去零因子法)