第一章实数集与函数(6时) §1实数(3时) 数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数,因此先叙述一下 实数的有关概念 实数及其性质 回顾中学中关于有理数和无理数的定义 能用互质分数(,q为整数,q≠0表示的数; 有理数:(有限十进小数或无很十进循环小数表示的数 若规定: aoa1a2…a2=a0a1a2…(a2-19….9 则有限十进小数都能表示成无限循环小数。 例如:2001记为200099;0记为0000 8记 为-7999 实数大小的比较 定义1给定两个非负实数 x=aoa1a2…a2…,y=b02b2…b 其中ak,b为非负整数,0≤ak,≤9。若由 1)ak=bk,k=0,1,2,…则称x与y相等,记为x=y 2)若存在非负整数l,使得a=b,(=0,1,2,…),而 am>ba,则称x大于y(或y小于x),分别记为x>y(或 y-y,则称y>x
1 第一章 实数集与函数 ( 6 时 ) § 1 实 数 （3 时） 数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下 实数的有关概念 一． 实数及其性质： 回顾中学中关于有理数和无理数的定义. 有理数： 若规定： 则有限十进小数都能表示成无限循环小数。 例如： 记为 ；0 记为 ； 记 为 实数大小的比较 定义 1 给定两个非负实数 其中 为非负整数， 。若由 1） 则称 与 相等，记为 2） 若存在非负整数 ，使得 ，而 ，则称 大于 （或 小于 ），分别记为 （或 ）。 规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数 ，若按定义 1 有 ，则称
实数的有理数近似表示 定义2设x=aa1a2…a…为非负实数,称有理数 为实数x的n位不足近似值,而有理数 x=x+ 称为x的x位过剩近似值。 对于负实数x=-a0a12a x的n位不足近似值规定为: xx=-a0.a1a2…a x的n位过剩近似值规定为:x=-a0a122ax 比如√2=14142…,则 4,141,1414,14142,…称为√的不足近似值; 5,1.42,1415,14143,…称为√2的过剩近似值。 命题设x=…,y=的…为两个实数,则 κ>y台存在非负整数n,使得x,>元 例1设x,y为实数,κ>y,证明:存在有理数r满足 x>r> 证明由x>y→存在非负整数n,使得x>2,取 则显然为有理数,且 x≥x2>P>52≥y 实数的一些主要性质 1四则运算封闭性 2三歧性(即有序性
2 实数的有理数近似表示 定义 2 设 为非负实数，称有理数 为实数 的 位不足近似值，而有理数 称为 的 位过剩近似值。 对于负实数 的 位不足近似值规定为： ； 的 位过剩近似值规定为： 比如 ，则 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 称为 的不足近似值； 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 称为 的过剩近似值。 命题 设 为两个实数，则 例 1 设 为实数， ，证明：存在有理数 满足 证明 由 存在非负整数 ，使得 ，取 则 显然为有理数，且 实数的一些主要性质 1 四则运算封闭性: 2 三歧性( 即有序性 ):
3实数大小由传递性,即a>b,b>c则有a>c 4 Archimedes性:a,b∈Rb>a>0,3∈N,3ma>b 5稠密性:有理数和无理数的稠密性 6实数集的几何表示—数轴: b,台VE>0,|a-b0,a0 4.|-|sk±bsk+ 5. ablai b b≠0 性质4(三角不等式)的证明
3 3 实数大小由传递性，即 4 Achimedes 性: 5 稠密性: 有理数和无理数的稠密性. 6 实数集的几何表示 ─── 数轴: 例 二. 绝对值与不等式 绝对值定义： 从数轴上看的绝对值就是到原点的距离： 绝对值的一些主要性质 性质 4（三角不等式）的证明：
由性质2 a≤as|a,-|b|≤b≤ 两式相加 (|a+|b|)≤a+bs|a+|b 由性质3上式等价于a+b|s|a+|b 把上式的b换成-b得|a-bs|a+b 几个重要不等式: (1)a+b22abl sin x xs 2)对Va1,a2,…an∈R,记 a1+a2+…+ M(a;) (算术平均值 (几何平均值) H(a2)= na彐a(调和平均值) 有均值不等式:H(a)s(a)sM(a) 等号当且仅当a1=a2=…=ax时成立 (3) Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过) 对x>0,由二项展开式 a+x=1+1+xn=x2+m(=1)n=2x2+…+x 有:(+)>上式右端任何一项
4 三. 几个重要不等式: ⑴ ⑵ 对 记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值) 有均值不等式: 等号当且仅当 时成立. ⑶ Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对 由二项展开式 有: 上式右端任何一项