广州大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）18.2 隐函数组

第二节 第十八章 隐菡数 、一个方程所确定的隐函数 及其导数 方程组所确定的隐函数组 及其导数 鲁 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束

第二节 第十八章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 隐函数

方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形 以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即 F(x,y,l4,v)=0 u=u(x y G(,y,u,v)=0 lv=v(x, y) 由F、G的偏导数组成的行列式 J (F,G) d(u, v)Gu Gv 称为F、G的雅可比( Jacobi)行列式 HIGH EDUCATION PRESS 08 雅可比目录上页下页返回结束

二、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.      ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 G x y u v F x y u v      ( , ) ( , ) v v x y u u x y 由 F、G 的偏导数组成的行列式 u v u v G G F F u v F G J     ( , ) ( , ) 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即 雅可比 目录 上页 下页 返回 结束

定理3.设函数F(x,y,u,v),G(x,y,,)满足 ①在点P(x2y0:0230)的某一邻域内具有连续偏 导数; 2 F(xo, yo, uo, vo)=0, G(o, yo, o,vo)=0 ③.n_O(F,G ≠0 p du, v)IP 则方程组F(x,y,uv)=0,G(x,y,l2)=0在点(x0,y) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件40=(x0,y0), vo=vxo,y0)的单值连续函数u=l(x,y),v=v(x,y) 且有偏导数公式: HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束

定理3.( , , , ) 0, F x0 y0 u0 v0  的某一邻域内具有连续偏 设函数 ( , , , ) 0 0 0 0 P x y u v F(x, y,u,v), G(x, y,u,v) 则方程组 F(x, y, u, v)  0, G (x, y, u,v)  0 ③ ( , ) 0 0 在点 x y 的单值连续函数 u  u(x, y), v  v(x, y), 且有偏导数公式 : ① 在点 ② 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足: 0 ( , ) ( , )     u v P F G P J ( , , , ) 0; G x0 y0 u0 v0  导数； ( , ), 0 0 0 u  u x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , ) 0 0 0 v  v x y

Ou 1 a(F,G) FF ax Ja(x, v) (P34-P35) G. G Ou 1a(F,G) F.F ay J O(, v) Fu FvIGy G Ov 1a(F,G) fF ax a(u, x) E FyGuGx u 定理证明略 1a(F,G) 仅推导偏导 数公式如下:J0(2y F HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束

( , ) 1 ( , ) x v F G x J u       ( , ) 1 ( , ) y v F G y J u       ( , ) 1 ( , ) u x F G x J v       ( , ) 1 ( , ) u y F G y J v      定理证明略  . 仅推导偏导 数公式如下： v v u v u v G F G G F F 1   v v u v u v G F G G F F 1   u u u v u v G F G G F F 1   u u u v u v G F G G F F 1   (P34-P35) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x x G F y y G F x x G F y y G F

F(x, y,u,v)=0 Ju=u(x, y) 设方程组 有隐函数组 IG(x,y,u,v=0 lv=v(x, y) F(x,y(x,y),v(x,y)≡0 lG(x, y,u(x,y),v(,y)=0 F.+ +f =0 两边对x求导得 G+g.+g 0 x 这是关于2m,D的线性方程组,在点P的某邻域内 ax ax 系数行列式=F1≠0,故得 HIGH EDUCATION PRESS 08 公式目录上页下页返回结束

     ( , , ( , ), ( , )) 0 ( , , ( , ), ( , )) 0 G x y u x y v x y F x y u x y v x y 这是关于 , 的线性方程组, x v x u          ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 G x y u v F x y u v 有隐函数组 则 两边对 x 求导得 , ( , ) ( , )      v v x y u u x y 设方程组   0, u v u v G G F F J 在点P 的某邻域内    x u    x v    x u    x v    Fx  Fu  Fv  0 Gx Gu  Gv  0 公式 目录 上页 下页 返回 结束 系数行列式 故得

au 1OF,G x jd(x,v) 0ν1a(F,G) dx d(u, x) 同样可得 du IOF,G) dy Jay,v) 0ν1a(F,G) dy d(u, y) HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束

同样可得 ( , ) 1 ( , ) y v F G y J u       机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , ) 1 ( , ) x v F G x J u       ( , ) 1 ( , ) u x F G x J v       ( , ) 1 ( , ) u y F G y J v      

au au ay ay 例4.设x-y”=0,y+x=1,求 ox ay ax a 解:方程组两边对x求导,并移项得 ou Ov xux 练习:求 dy ay ye+x 答案 x yu-dv 由题设J x2+y2≠0 uyy x-+ 0u1- xu+ vv xut yv ax J V X x+ 故有 x +y av 1 x-u xi-yu ax J y x+ HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束

例4. 设 x u  y v  0, y u  x v 1, , , , . y v x v y u x u         解: y x x y J   x J u 1    2 2 x y yu xv y u       方程组两边对 x 求导，并移项得 求 v x v x x u y        v x u y    2 2 x y xu yv     y v x u  x J v 1    2 2 x y xv yu     练习: 求 y v y u     , u x v y x u x        0 2 2  x  y  2 2 x y xu yv y v       机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: 由题设 故有

例5设函数x=x(u2),y=y(u,)在点(1)的某 邻域内有连续的偏导数,且xy)≠0 1)证明函数组 x=x(u,v ly=y(u 在与点(,v)对应的点 (xy)的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数u=u(x,y),v=(x,y) )求=1(x3y),v=v(x,y)对x,y的偏导数 解:1)令F(x,y,,yv)=x-x(,v)=0 G(x,y,l,y)=y-y(2y)=0 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束

例5.设函数 x  x (u ,v), y  y (u ,v)在点(u,v) 的某一 0 ( , ) ( , )    u v x y 1) 证明函数组      ( , ) ( , ) y y u v x x u v ( x, y) 的某一邻域内 u  u ( x,y ) , v  v ( x, y ). 2) 求 u  u ( x,y ) , v  v ( x, y ) 解: 1) 令 F(x, y,u,v)  x  x (u,v)  0 G(x, y,u,v)  y  y (u,v)  0 对 x , y 的偏导数. 在与点 (u, v) 对应的点 邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

则有 _3(F,G)_0(x,y)≠0 0(l,v)O(2y) 由定理3可知结论1)成立 2)求反函数的偏导数 x≡x(u(x,y),v(x,y) ly= y(u(x, y), v(x v)y ①式两边对x求导,得 Ox ou ox ay 0u0x00 0y0u0 y y au ax ay ax HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束

     ( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( , )) y y u x y v x y x x u x y v x y ①式两边对 x 求导, 得     u y 0 x v   x u   1 x u   x v      u x     v x     v y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有 ( , ) ( , ) u v F G J    0, ( , ) ( , )     u v x y 由定理 3 可知结论 1) 成立. 2) 求反函数的偏导数. ① ②

注意J≠0,从方程组②解得 ax ax ou 10y0v10u Idy ax J y Jav ax J oy 0 du 同理,①式两边对y求导,可得 ou lax 0v10x y y ou HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束

注意J  0, v y v x J     0 1 1    x u    x v , 1 v y J    u y J     1 0 1 1 u y u x J     机动 目录 上页 下页 返回 结束 从方程组②解得 同理, ①式两边对 y 求导, 可得 , 1 v x y J u       u x y J v      1