广州大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十七章 多元函数微分学 17.4 二元函数的泰勒公式（泰勒公式与极值问题）

第四节 第十七章 二元菡数的泰勒公式 高阶偏导数 二、中值定理与泰勒公式 三、极值问题 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束

*第四节 二、中值定理与泰勒公式 三、极值问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数的泰勒公式 第十七章 一、高阶偏导数

、高阶偏导数 设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数 az fr(x, y) f,(x, y) 若这两个偏导数仍存在偏导数,则称它们是z=f(x,y) 的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导 数 a-aa xzy 2Jxx(x,y, r ox aray fry(x,y) 00z、0 ax a fr(x, y) avax dy Oy av2 =fvv(x, y) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 ( , ) , f (x, y) y z f x y x z x = y   =   若这两个偏导数仍存在偏导数， ( ) x z   ( ) y z x     ( ) x z y     ( ) ( , ) 2 2 f x y y z y z y = y y   =     则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 2 2 x z   = f (x, y); = xx x y z    = 2 f (x, y) = x y ( , ); 2 f x y y x z = y x    = x  机动 目录 上页 下页 返回 结束 数:

类似可以定义更高阶的偏导数 例如,z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为 ox x f(x,y关于x的n-1阶偏导数,再关于y的一阶 偏导数为 aa y Ox ax" a HIGH EDUCATION PRESS 908 机动目录上页下页返回结束

类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 ( ) y  x y z n n    = −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为

例5求函数z=e+2的二阶偏导数及 解 az e×2 az y 2extly ox y 2 x+2y x+2 e ax z_2e x+2 4 x+2y avOx 0z )=2e x+2y 注意:此处 但这一结论并不总成立 oxy oyo HIGH EDUCATION PRESS 908 机动目录上页下页返回结束

x y e 2 2 + = 例5. 求函数 x y z e +2 = . 2 3 y x z    解 : =   x z =   2 2 x z ( ) 2 2 3 y x z y x x z      =    =   y z =    y x z 2 =    x y z 2 =   2 2 y z 注意:此处 , 2 2 y x z x y z    =    但这一结论并不总成立. x y e +2 x y e 2 2 + x y e +2 x y e 2 2 + x y e 2 2 + x y e 2 4 + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及

x2+y2≠0 例如,f(x,y)={x2+y2 x-+ +4x y fr(x, y) ( ≠0 x-+ +y2=0 4x x +y2≠0 f (r,y) (x2+y2) y2=0 f3(00)=m(O,△y)=f1( △ 1 △y>0 △ △y→>0△ 者 ∫,(△x,0)-f,(0,0) 不 x fvr(0,0)= lim m 1等 △x→>0 x→>0△x HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页下页返回结束

, 0 ( ) 4 2 2 2 2 2 4 2 2 4 +  + − − x y x y x x y y x y f y f x x y   −  → (0, ) (0,0) lim 0 f y (x, y) = 例如, f x (x, y) = f xy (0,0) = x f x f f y y x yx   − =  → ( , 0) (0,0) (0,0) lim 0 二 者 不 等 y y y  −  =  →0 lim = −1 x x x   =  →0 lim =1 f (x, y) = 0, 0 2 2 x + y = , 0 ( ) 4 2 2 2 2 2 4 2 2 4 +  + + − x y x y x x y y y 0 , 0 2 2 x + y = , 0 2 2 2 2 2 2 +  + − x y x y x y x y 0, 0 2 2 x + y = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6.证明函数 ,=vx2+y2+2满足拉普拉斯 方程△ au au a + 0 2 证 unyra 10 I x 1 3x ar 1 3 2 ax ax 利用对称性,有 13 3 a02u.a2u33 y+2 +-20z 0 ax HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例6. 证明函数 满足拉普拉斯 0 2 2 2 2 2 2 =   +   +   z u y u x u 证： =   2 2 x u 利用对称性 , 有 , 1 3 5 2 2 3 2 r y y r u = − +   2 2 2 2 2 2 z u y u x u   +   +    方程 u = 3 1 r − x r r x   +  4 3 5 2 3 1 3 r x r = − + 5 2 2 3 2 1 3 r z z r u = − +   5 2 2 2 3 3 3( ) r x y z r + + = − + 2 = r = 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理若fx(xy)和fx(xy)都在点(xo,yo)连续,则 fxy(o, yo)=fyr(xo, yo) 证明略) 本定理对n元函数的高阶混合导数也成立 例如,对三元函数u=f(x,y,z),当三阶混合偏导数 在点(x,y,z)连续时,有 xy2(x,y,2)=/y2x(x,y2)=/2xy(x,y,2) fxzv(x,y, z)=fvxz(x,y, z)=fzvx(x,y, 2) 说明:因为初等函数的偏导数仍为初等函数,而初等 函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序 HIGH EDUCATION PRESS 908 证明目录上页下页返回结束

( ) ( ) ( , ) , 若 f xy x,y 和 f y x x,y 都在点 x0 y0 连续 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y x y = y x 则 证明 目录 上页 下页 返回 结束 定理. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 说明: 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 而初等 (证明略)

二、中值定理与泰勒公式 一元函数f(x)的泰勒公式 f(x+1)=f(x0)+(x0(xb2+ 2 f(xo) (n+1) (xo+8x (n+1) (0<6<1) 推广 多元函数泰勒公式 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束

二、中值定理与泰勒公式 一元函数 f (x) 的泰勒公式: +  + = +  + 0 2 0 0 0 2! ( ) ( ) ( ) ( ) h f x f x h f x f x h n n h n f x ! ( ) 0 ( ) + (0  1) 推广 多元函数泰勒公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

记号设下面涉及的偏导数连续) (h+k)f(x0,y0)表示hx(x02y0)+k/,(x0,y) X (h+k)2f(x,y0)表示 ax y hfxx(xo, yo)+2hk fxy(x0, yo)+k'fyy(o, yo) 一般地,(h+k)mf(x。,y)表示 ax ∑Cmh"knn 0"f A OX m-P(Xo, yo HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束

记号 (设下面涉及的偏导数连续): ( ) ( , ) 0 0 f x y y k x h   +   ( ) ( , ) 0 0 2 f x y y k x h   +   ( ) ( , ) 0 0 f x y y k x h m   +   ( , ) ( , ) 0 0 0 0 h f x y k f x y 表示 x + y ( , ) 2 ( , ) ( , ) 0 0 2 0 0 0 0 2 h f x y hk f x y k f x y xx + x y + y y ( , ) C 0 0 0 x y x y f h k p m p m p m p m p p m − − =     • 一般地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 • • 表示 表示

定理1.设z=f(xy)在点(x0y)的某一邻域内有直 到n+1阶连续偏导数,(x+h,y+k)为此邻域内任 点,则有 f(o+, yo +k)=f(ro, yo)+(ho+k of(xo, yo (ha+k2,)f(x0,y)+ +( a+k am"f(xo, yo)+R 其中Rn=m1(b0+k0)(x0+0h,y+k)② (0<6<1) ①称为在点(x,y)的n阶泰勒公式②称为其拉格 朗日型余项 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束

定理1. ( , ) ( , ) 0 0 设 z = f x y 在点 x y 的某一邻域内有直 到 n + 1 阶连续偏导数 , ( , ) 0 0 x + h y + k 为此邻域内任 一点, 则有 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + h y + k = f x y ( ) ( , ) 0 0 h k f x y x  y    + + + 2 1 ! (h   x + k   y ) 2 f (x0 , y0 ) + ( ) ( , ) ! 0 0 1 h k f x y n n x  y    + + ( ) ( , ) 0 0 1 ( 1)! 1 R h k f x h y k n n n x y = + + + +     + (0  1) + Rn 其中 ① ② ① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格 朗日型余项 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束