§3闭区间上连续函数性质的证明(4时) 一.有界性 命题1 f(x)∈C[a,b] 在[a,b]上f(x)=O(1) 证法 (用区间套定理).反证法 证法二(用列紧性).反证法 证法三(用有限复盖定理) 二.最值性 命题2(x)∈[a,b], f(x)在[a,b]上取得最大值和最小 值 (只证取得最大值) 证 (用确界原理)参阅[1]P226[证法二]后半段 介值性:证明与其等价的“零点定理 命题3(零点定理 证法 (用区间套定理 证法二 (用确界原理).不妨设J(a)>0,f(b)0,x∈[a,b]),则郾非空有界,→E有上确界设 5=8pE有5∈[a,b].现证 ∫(5)=0,(为此证明f(5)≥0且f()≤0).取x>且x e,(n→00) 由(x)在点连续和f(x)≤0 Jf()=imf(x2)≤0 →5≠E.于是3∈E,32→5(n→0).由f(x)在点5连续和 f(2)>0 f()=limf(x)≥0 因此只能有f()=0 (用有限复盖定理) 四.一致连续性: 命题4( Cantor定理 (用区间套定理)
§3 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 ) 一. 有界性: 命题 1 , 在 上 . 证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法. 证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 二. 最值性: 命题 2 , 在 上取得最大值和最小 值. ( 只证取得最大值 ) 证 ( 用确界原理 ) 参阅[1]P226[ 证法 二 ] 后半段. 三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”. 命题 3 ( 零点定理 ) 证法 一 ( 用区间套定理 ) . 证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 . 令 , 则 非空有界, 有上确界. 设 有 . 现证 , ( 为此证明 且 ). 取 > 且 . 由 在点 连续和 , , . 于是 . 由 在点 连续和 , . 因此只能有 . 证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 四. 一致连续性: 命题 4 ( Cantor 定理 ) 证法 一 ( 用区间套定理 )
证法 (用列紧性) 二.实数基本定理应用举例: 例1设f(x)是闭区间[a,b]上的递增函数,但不必连续.如果 Jf(a)≥a ∫()≤b,则3x0∈[a,b],使J(x0)=x (山东大学研究生入学试 证法 (用确界技术.参阅[3]P76例10证法1) 设集合F=(x1f(x)2x,aSx≤b).则a∈F,F不空;Fc [a,b] F有界.由确界原理,F有上确界.设0=即F,则x∈[a,b 下证(x0)=, i)若x0∈F,有f(x)2x0;又(x0)≤(b)≤b,得f(x)∈[a,] 由f(x)递增和f(x 有f((x0)≥f(x0),可见f(x0)∈F.由 F →J(x0)5x0.于是,只能有f(x0)= i)若xEF,则存在F内的数列(x),使xx0,(n→m);也存 在数列 (n),x<≤b,、x0,(x→).由∫递增,xn∈F以及gF,就有 式 x2≤f(x2)≤f(x0)≤f(t2)< 对任何n成立.令n→0,得 x≤f(x0)≤x0, 于是有f(x0)= 证法二(用区间套技术,参阅[B3]P7例10证法2)当f(a)=a
证法 二 ( 用列紧性 ). 二. 实数基本定理应用举例： 例 1 设 是闭区间 上的递增函数, 但不必连续 . 如果 , , 则 , 使 . ( 山东大学研究生入学试 题 ) 证法 一 ( 用确界技术 . 参阅[3] P76 例 10 证法 1 ) 设集合 . 则 , 不 空 ; , 有界 . 由确界原理 , 有上确界. 设 , 则 . 下证 . ⅰ） 若 , 有 ; 又 , 得 . 由 递增和 , 有 , 可见 . 由 , . 于是 , 只能有 . ⅱ） 若 , 则存在 内的数列 , 使 ↗ , ; 也存 在数列 , ↘ , . 由 递增, 以及 , 就有 式 对任何 成立 . 令 , 得 于是有 . 证法二 ( 用区间套技术, 参阅[3] P77 例 10 证法 2 ) 当 或
时,a或b就是方程f(x)=x在[a,b]上的实根.以下总设f(a)>a,f(b)C,取a1=C,h=b;若J(c)a2,f(ba)g().试证明:方程f(x)=g(x)在区间(a,b)内有实根 构造区间套{a,bn]),使f(a)g().由区间套 定理,35,使对Vn, 有5∈[a,a].现证∫(2)=g(5).事实上,由g(x)在[a,b]上的递增性和 a2,bn]的构造以及a 有 Jf(an)<g(an)≤g()≤g(bn)<f(bn) 注意到J(x)在点占连续,由 Heine归并原则,有
时, 或 就是方程 在 上的实根 . 以下总设 . 对分区间 , 设分 点为 . 倘有 , 就是方程 在 上的实根.(为行文简练 计, 以下总设不会 出 现 这 种 情 况 ) . 若 , 取 ; 若 , 取 , 如此得一级区间 . 依此构造区间套 , 对 ,有 . 由区间套定理, , 使对 任何 ,有 . 现证 . 事实上, 注意到 时 ↗ 和 ↘ 以及 递增,就有 . 令 , 得 于是有 . 例 2 设在闭区间 上函数 连续, 递增 , 且有 , . 试证明: 方程 在区间 内有实根 . 证 构造区间套 ,使 .由区间套 定理, , 使对 , 有 . 现证 . 事实上, 由 在 上的递增性和 的构造以及 ↗ 和 ↘ ,, 有 . 注意到 在点 连续，由 Heine 归并原则, 有
lm f(a,)=f() lm f(b,=f(s) →J(5sg(sf(),f(5)=g(5).5为方程(x)=g(x)在区间 a,b)内的实根 例3试证明:区间[0,1]上的全体实数是不可列的 证(用区间套技术,具体用反证法)反设区间[0,1]上的全体 实数是可列的,即可排成一列: 把区间[0,1三等分,所得三个区间中至少有一个区间不含列,记该区间为 级区间[a1,1].把区 间[a1,b]三等分,所得三个区间中至少有一个区间不含x2,记该区间为二级区 间[a2,b2] 依此得区间套([a,b]),其中区间[a,a2]不含x,x…x,由区间套定 使对n,有 5∈[a2,an].当然有5∈[0,1]. 但对n,有xn[a,a]而 ∈[a,a],→x≠5,矛盾 课(4时) 实数基本定理互证举例 例4用“区间套定理”证明“单调有界原理” 证设数列(x)递增有上界.取闭区间[a1,1],使不是(x2)的上 界,与1是(xn)的上界.易见 在闭区间[a,b1]内含有数列(x)的无穷多项,而在[a1,1]外仅含有(x)的 有限项.对分[4,的],取
, , . 为方程 在区间 内的实根. 例 3 试证明: 区间 上的全体实数是不可列的 . 证 ( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间 上的全体 实数是可列的,即可排成一列: 把区间 三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含 ，记该区间为 一级区间 . 把区 间 三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含 ，记该区间为二级区 间 . …… . 依此得区间套 , 其中区间 不含 . 由区间套定 理, , 使对 , 有 . 当然有 . 但对 有 而 , . 矛盾. 习 题 课 （ 4 时 ） 一． 实数基本定理互证举例： 例 4 用“区间套定理”证明“单调有界原理”. 证 设数列 递增有上界. 取闭区间 , 使 不是 的上 界, 是 的上界. 易见 在闭区间 内含有数列 的无穷多项, 而在 外仅含有 的 有限项. 对分 , 取
[a2,b21使有[a1,1的性质……于是得区间套{[an,b21),有公共点5.易 见在点5的任何邻域内有数 列(不)的无穷多项而在其外仅含有(的有限项,→lmxn 例5用“确界原理”证明“区间套定理” 证[an,b2])为区间套.先证每个am为数列{b)的下界,而每个bm 为数列的上界.由确(an)界原 理,数列{an)有上确界,数列{b)有下确界 设 a= inf(s),A=p(a2).易见有 a,sasb和 ≤A≤bn 由h-an→0,(n→),→a=8 例6用“有限复盖定理”证明“聚点原理” 证(用反证法)设S为有界无限点集,Sc[a,b1.反设[a,b]的 每一点都不是的聚点,则对 vx∈[a,b],存在开区间(a,A),使在(a,A)内仅有S的有限个 点 例7用“确界原理”证明“聚点原理” 证设S为有界无限点集.构造数集E=(xE中大于x的点有无穷 多个 易见数集E非空有上界,由确界原理,E有上确界.设=B.则对 ve>0,由-E不是E的上界 E中大于A-E的点有无穷多个;由A+是E的上界,→E中大于 E的点仅有有限个.于是,在 (6-e,A+E)内有B的无穷多个点,即是E的一个聚点
使有 的性质.…….于是得区间套 ,有公共点 . 易 见在点 的任何邻域内有数 列 的无穷多项而在其外仅含有 的有限项, . 例 5 用“确界原理”证明“区间套定理”. 证 为区间套. 先证每个 为数列 的下界, 而每个 为数列的上界. 由确 界原 理 , 数列 有上确界, 数列 有下确界 . 设 , .易见有 和 . 由 ， . 例 6 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”. 证 ( 用反证法 ) 设 为有界无限点集, . 反设 的 每一点都不是 的聚点, 则对 , 存在开区间 , 使在 内仅有 的有限个 点. …… . 例 7 用“确界原理”证明“聚点原理”. 证 设 为有界无限点集. 构造数集 中大于 的点有无穷 多个 . 易见数集 非空有上界, 由确界原理, 有上确界. 设 . 则对 ,由 不是 的上界 中大于 的点有无穷多个; 由 是 的上界, 中大于 的点仅有有限个. 于是, 在 内有 的无穷多个点,即 是 的一个聚点