3定积分的性质 性质1(线性性质)若(x),g(x)均在a的上可积,则g(x)+角()也在 [a,列上可积,且 [af (x)+Bg(x)]dx=a f(x)dx+8 g(x)dx 性质2有界函数在区间[a.d]和[,上可积,兮∫(x Ra, b 并有 =[+∫ (证明并解释几何意义 规定 系设函数在区间[A,B]上可积,则对ab∈[A,B],有 =+ (证) 性质3 积分关于函数的单调性 设函数J∈R[a,b,且J≤吕,→ ,/sIg (证)(反之确 否?) 积分的基本估计: m(b M(b-a) 其中m和M分别为函数J在区间[a,b上的下确界与上确界 性质4 绝对可积性
3 定积分的性质 性质 1 （线性性质）若 均在 上可积，则 也在 上可积，且 性质 2 有界函数 在区间 和 上可积， , 并有 . ( 证明并解释几何意义 ) 规定 , . 系 设函数 在区间 上可积 . 则对 , 有 . （ 证 ） 性质 3. 积分关于函数的单调性: 设函数 , 且 , .（ 证 ）(反之确 否?) 积分的基本估计: . 其中 和 分别为函数 在区间 上的下确界与上确界. 性质 4. 绝对可积性:
设函数f∈a,b 1kAa,且12升(注意 a <b f()1,x为有理数 该定理之逆不真.以例 1,x为无理数 做说明 6.积分第一中值定理:J∈C[a,b 32∈ =/((b- (推广的积分第一中值定理),g∈CLab且不变号, 则 3∈[a,b],使 f() Mathematical Monthly,1982.No5.P300-301.在该文中得 到如下结果 Th If is differentiable at a f(a)≠0 is taken inthe Theorem for integral, then
设函数 , , 且 (注意 .) 该定理之逆不真. 以例 做说明. 6. 积分第一中值定理: , 使 = . ( 推广的积分第一中值定理 ) 且 不变号， 则 , 使 = . Mathematical Monthly, 1982. No 5. P300—301 . 在该文中得 到如下结果: Th If is differentiable at ， ， and is taken inthe Theorem for integral ，then
.变限积分:定义上限函数(x)=等,(以及函数 里(x)=[fd 其中函数∈a.指出这是一种新的函数,也叫做面积函数 定理(面积函数的连续性) 三.举例: 例1设J,g∈x,b],试证 2f(5)gm)△x= 其中与和”是2:内的任二点,T={△3},2=1,2,…,n 例2比较积分0与0的大小. 例3设J∈C[a,b]f(x)20但(x)≠0.证明>0 √2 - sin x 例4证明不等式 证明分析:所证不等式为 d √2 只要证明在 上成立不等式1≤ ,且等号不恒 成立,则由性质4和上例得所证不等式
二. 变限积分: 定义上限函数 ，（以及函数 ） 其中函数 . 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数. 定理 ( 面积函数的连续性 ) 三. 举例: 例 1 设 . 试证 明: . 其中 和 是 内的任二点, { }, . 例 2 比较积分 与 的大小. 例 3 设 但 . 证明 >0. 例 4 证明不等式 . 证明分析： 所证不等式为 只要证明在 上成立不等式 , 且等号不恒 成立, 则由性质 4 和上例得所证不等式
lim cos" xdx= 0 例5证明
例 5 证明