§3有理函数和可化为的有理函数的不定积分 内容:1)有理函数的部分分式分解 2)有理函数的不定积分 难点:有理函数的部分分式分解 要求:掌握有理函数的积分方法 我们已经学习了不定积分的三种基本积分方法:第一换元法,第二换元法, 分部积分法。灵活的应 用它们,就可以求出许多不定积分。 有理函数是指两个多项式的商表示的函数 P(x) Q(x)box+b2x+…+b 先介绍代数学中两个定理 定理1(多项式的因式分解定理)任何实系数多项式Q(x)总那个可以唯一分 解为实系数一次或二次 因式的乘积 Q(x)=b0(x-a)…(x-b)(x2+px+q)…(x2+rx+h) 定理2(部分分式展开定理) Px)4+4 e(x (x-a)(x (x-a) BI ex+ 2 Px+el … x+px+q(x+px +q) +H1 Rx+H Rx+H x+rx+3 十rX+ (x2+rx+/) 因此有理函数的积分问题就归结为计算
§3 有理函数和可化为的有理函数的不定积分 内容：1）有理函数的部分分式分解 2）有理函数的不定积分 难点：有理函数的部分分式分解 要求：掌握有理函数的积分方法 我们已经学习了不定积分的三种基本积分方法：第一换元法，第二换元法， 分部积分法。灵活的应 用它们，就可以求出许多不定积分。 有理函数是指两个多项式的商表示的函数 先介绍代数学中两个定理： 定理 1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式 总那个可以唯一分 解为实系数一次或二次 因式的乘积： 定理 2 （ 部分分式展开定理） 因此有理函数的积分问题就归结为计算
JAw Mx+N 2x-1 例 求不定积分 将被积函数按部分分式分解 2x-1 B 两边同乘(x-2(x-3 2x-1=A(x-3)+B(x-2) 比较同次项系数 A+B=2 l3A+2B=1 解此方程组 1=A+B-2 f2=23*A+2*B-1’;[A,B]= solve(f1,f2) -3,B=5 由此得到 2x-1 x dx Ddx=In C 2-5x+6 (x+2 也可直接用下面命令 b=[2,-1] a=[1,-5,6] [r, p, k]=residue(b, a r
和 例 1. 求不定积分 将被积函数按部分分式分解 两边同乘 比较同次项系数 解此方程组 f1='A+B-2'; f2='3*A+2*B-1'; [A,B]=solve(f1,f2) A = -3 ，B = 5 由此得到 也可直接用下面命令 b=[2,-1]; a=[1,-5,6]; [r,p,k]=residue(b,a) r = 5 -3
2x4-x3+4x2+9x-1 4x-8 解将分母分解因式 f=sym(x^5+x4-5*x3-2*x2+4*x-8”); ans=(x-2)*(x2-x+1)*(x+2)2 因此可分成部分分式 Dx+E 5x3-2x2+4x-8 +2(x+2) 两边同乘(x-2)(x+2)(x2-x+1),比较同次项系数得 2x4-x3+4x2+9x-10=A(x+2)2(x2-x+1+B(x-2(x+2)(x2-x+1) +C(x-2)(x2-x+1)+(Dx+B)(x-2)x+2)2 clc,f=sym(A*(x+2)2*(x2-x+1)+B*(x-2)*(x+2)*(x2-x+1)+C米(x-2)*(x2-x+1)+( D*x+E)*(x-2)*(x+2)2”); collect(f,’x’) (B+A+D)*x4+(E+2*D+C-B+3*A)*x3+(-3*C+2*E-4*-3*B+A)*x2+(3*C-4*E-8*D+4*B) x+4*A-2*-4*B-8米E 比较同次项系数得 B+A+D=2 E+2D+C-B+3A=-1 3C+2E-4D-3B+A=4 3C-4E-8D+4B=9 4A-2C-4B-8B=-10 解此方程组 f1=’B+A+D-2”;f2=2E+2*D+C-B+3*A+1’;f3=’-3*C+2米E-4*D-3*B+A
例 2 解 将分母分解因式 f=sym('x^5+x^4-5*x^3-2*x^2+4*x-8'); factor(f) ans =(x-2)*(x^2-x+1)*(x+2)^2 因此可分成部分分式 两边同乘 ，比较同次项系数得 clc,f=sym('A*(x+2)^2*(x^2-x+1)+B*(x-2)*(x+2)*(x^2-x+1)+C*(x-2)*(x^2-x+1)+( D*x+E)*(x-2)*(x+2)^2'); collect(f,'x') ans =(B+A+D)*x^4+(E+2*D+C-B+3*A)*x^3+(-3*C+2*E-4*D-3*B+A)*x^2+(3*C-4*E-8*D+4*B) *x+4*A-2*C-4*B-8*E 比较同次项系数得 解此方程组 f1='B+A+D-2'; f2='E+2*D+C-B+3*A+1'; f3='-3*C+2*E-4*D-3*B+A-4';
f4=3*-4米E-8*D+4*B-9 f5=’4*A_2*C-4米B-8米E+10 [A, B, C, D, E]=solve(f1, f2, f3, f4, f5) A=1B=2C=-1D=-1E=1 dx x5+x4-5x3-2x2+4x-8 x-2x+2(x+2) =n|x-2|+2n|x+2|+ ln(x2-x+1+ x+2 2|(x+2 actg x2-x+1x+2 另一种方法是 4x2+9x-10=A(x+2) +1+B(x-2)(x+2)(x2-x+1) 1)+(Dx+E)(x-2)(x+2 得 10=4-4B+2-8E x=1→4=9-3B+1-9(D+B) x=-1→-12=3-9B+9-3(2-D)
f4='3*C-4*E-8*D+4*B-9' ; f5='4*A-2*C-4*B-8*E+10' ; [A,B,C,D,E]=solve(f1,f2,f3,f4,f5) A =1 B =2 C =-1 D =-1 E =1 另一种方法是 令 得