§3泰勒公式 问题和任务: 泰勒定理的引入和基本思想 容易验证多项式函数2411+…+a1+a0 =f(0)+f(0)x+…+ 般函数上面的结果能否成立或近似成立呢?若一个函数能用多项式近似 对函数的计算、性质的 研究就会大大简化。 二几个常见函数的泰勒公式展开 (n= f=sym(f(x)), y=f(x)) clf, f=sym(sin(x),) x=0:1/20:4;y=sin(x);z= taylor(f,x=0',7); zI=taylor(f, x=0, 9) ezplot(z, [0, 41), hold on ezplot(zl, [0, 4]), hold on plot(x,y,’r',’ linewidth’,2)
§ 3 泰勒公式 一. 问题和任务: 泰勒定理的引入和基本思想 容易验证多项式函数 一般函数上面的结果能否成立或近似成立呢？若一个函数能用多项式近似， 对函数的计算、性质的 研究就会大大简化。 二 几个常见函数的泰勒公式展开 （n= ，f=sym('f(x)') ，y=f(x)） clf, f=sym('sin(x)'); x=0:1/20:4; y=sin(x); z=taylor(f,'x=0',7); z1=taylor(f,'x=0',9); ezplot(z,[0,4])，hold on ezplot(z1,[0,4])，hold on plot(x,y,'r','linewidth',2)
.16×3+1120×5.15040×2 用多项式逼近函数的可能性;对已知的函数,希望找一个多项式逼近 到要求的精度 三 Taylor(1685-1731)多项式 分析前述任务,引出用来逼近的多项式应具有的形式 定义(may1or多项式2(x)及 Maclaurin多项式) 四7 aylor公式和误差估计: 称2(x)=f(x)-(x)为余项.称给出A2(x)的定量或定性描述的 f()=2()+()为函数f(x)的 Taylor公式 1.误差的定量刻画(整体性质)——7 aylor中值定理 定理6.9设函数了满足条件: i)在闭区间ab上f有直到阶连续导数
用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数, 希望找一个多项式逼近 到要求的精度. 三 Taylor( 1685—1731 )多项式: 分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式 定义 Taylor 多项式 及 Maclaurin 多项式 四 Taylor 公式和误差估计: 称 为余项. 称给出 的定量或定性描述的 式 为函数 的 Taylor 公式. 1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) —— Taylor 中值定理: 定理 6.9 设函数 满足条件: ⅰ) 在闭区间 上 有直到 阶连续导数;
i)在开区间(ab)内J有n+1阶导数 则对Wx∈(ab),3∈(a,b),使 f(x)=f(a)+f(a(x-a)+(a(x-a)2+…<)(a)(x-a)2+ (N+1) n十 (n+1) 证(见教材) 称这种形式的余项A(为 Lagrange型余项.并称带有这种形式余项的 7 aylor公式为具 lagrange 型余项的 Taylor公式. Lagrange型余项还可写为 (x(a+8(x-4)(x-a), (n+1) 日∈(0,1) a=0时,称上述Tay1or公式为 Maclaurin公式,此时余项常写为 R2(x)= (n+1) 0<日<1 关于7 aylor公式中 Lagrange型余项的进一步讨论可参阅 Alfono, G. Azpeitia, On the Lagrange reminder of the Taylor formula Amer. Math. Monthly, 89(1982)
ⅱ) 在开区间 内 有 阶导数. 则对 使 . 证 （见教材） 称这种形式的余项 为 Lagrange 型余项. 并称带有这种形式余项的 Taylor 公式为具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式. Lagrange 型余项还可写为 . 时, 称上述 Taylor 公式为 Maclaurin 公式, 此时余项常写为 . 关于 Taylor 公式中 Lagrange 型余项的进一步讨论可参阅: Alfono, G. Azpeitia, On the Lagrange remeinder of the Taylor formula. Amer. Math. Monthly, 89(1982)
2.误差的定性描述(局部性质) Peano型余项 定理2若函数/在点a的某邻域∪(a内具有n-1阶导数,且a)存在 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+( R2(x)=f(x)-2(x)G(x)=(x-a)2 应用L' 法则 次 并注意到(a)存在,就有 R2(x)__3(x) 4)(a) 称R(x)=(x-2)为my10r公式的/m余项,相应的 Macl 公式的 Peano型余项为 R2(x)=叫(x2).并称带有这种形式余项的 Taylor公式为具 Peano型余项的 7 aylor公式 (或 Mac laurin公式). 四.函数的Tay1or公式(或 Maclaurin公式)展开: 例验证下列函数的 Maclaurin公式
2. 误差的定性描述( 局部性质 ) —— Peano 型余项: 定理 2 若函数 在点 的某邻域 内具有 阶导数, 且 存在, 则 证 设 , . 应用 Hospital 法则 次, 并注意到 存在, 就有 . 称 为 Taylor 公式的 Peano 型余项, 相应的 Maclaurin 公式的 Peano 型余项为 . 并称带有这种形式余项的 Taylor 公式为具 Peano 型余项的 Taylor 公式 ( 或 Maclaurin 公式 ). 四. 函数的 Taylor 公式( 或 Maclaurin 公式 )展开: 例 验证下列函数的 Maclaurin 公式
例1 2m1 Sin x=x 例2 clf,f=sym(sin(x)’) x=0:1/20:4;y=sin(x) z=taylor(f, x=0, 7): zl=taylor(f, x=0,, 9) ezplot(z, [0, 4)), hold on ezplot(z1, [0, 41), hol plot(x,y,’r',’ linewidth’,2) x116x2+1120x15040x COSX=l- 例 2m)
例 1 . 例 2 , （n= ，f=sym('f(x)') ，y=f(x)） clf, f=sym('sin(x)'); x=0:1/20:4; y=sin(x); z=taylor(f,'x=0',7); z1=taylor(f,'x=0',9); ezplot(z,[0,4])，hold on ezplot(z1,[0,4])，hold on plot(x,y,'r','linewidth',2) 例 3
In(1+x)=x 例4 n+1) (1+x)=1+ax+ aa-1+…+2a(a-1)…(a o( 例5 1+x+x2+…+x2+o(x) 例61-x 例7写出函数f(x)=“的 Mac laurin公式,并求 例8 nx在x=2时的泰勒公式 例9 把函数(x)=nx展开成含x4项的具 Peano型余项的 Maclaurin公式 =X o(x3) 解 357 例10把函数f(x)=C08x展开成含x项的具 Peano型余项的 Mac laurin公 式 解 2!46l c2rx=1-2x2+x456,6 注意 o(kx)=(x,k≠0) (1+cos2x)=1 2
例 4 例 5 例 6 例 7 写出 函数 的 Maclaurin 公式 , 并求 例 8 在 时 的泰勒公式 例 9 把函数 展开成含 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 . 解 , . 例 10 把函数 展开成含 项的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公 式 . 解 , 注意,
a)泰勒定理是中值定理的推广,是含有高阶导数的中值定理 b)由泰勒定理余项和(c62)图示看出,其误差是较(x-a)高阶的无 穷小 c)如果用更高阶的泰勒多项式来近似代替函数,不仅更精确而且能够在 更大范围内近似代替函数 例11求e精确到00000的近似值. 解 ×、 00) 例13求极限 x→0 解 a=l-xIn a+-In a +o(x)
a） 泰勒定理是中值定理的推广，是含有高阶导数 的中值定理 b） 由泰勒定理余项和（c62）图示看出，其误差是较 高阶的无 穷小。 c） 如果用更高阶的泰勒多项式来近似代替函数，不仅更精确而且能够在 更大范围内近似代替函数。 例 11 求 精确到 的近似值. 解 . 注意到 有 . 为使 , 只要取 . 现取 , 即得数 的精确到 的近似值为 . 3. 利用 Taylor 公式求极限: 原理: 例 12 求极限 例 13 求极限 . 解 , ;
a2+a-x-2=x2lh2a+(x2) In"a