§3.平面曲线的弧长与曲率 本节主要介绍平面曲线弧长的计算公式 、平面曲线的弧长 平面曲线弧长的概念 我们已经学习过,利用刘嶶割圆术定义了圆的周长,现将 刘嶶的割圆术加以推广,则可定义出平面曲线的弧长,并得到 平面曲线弧长的计算公式。 设平面曲线C=AB(为曲线弧),如图 P2 所示,在C上从A到B依次取分点: PO=A Pn P=B,它们成为对曲线C的一个分割 P=B
1 §3. 平面曲线的弧长与曲率 本节主要介绍平面曲线弧长的计算公式 一、平面曲线的弧长 1、平面曲线弧长的概念 我们已经学习过，利用刘嶶割圆术定义了圆的周长，现将 刘嶶的割圆术加以推广，则可定义出平面曲线的弧长，并得到 平面曲线弧长的计算公式。 0 1 2 1 1 ( , , , , , , , , , , i i n n C AB C A B A P P P P P P P B C − − = = = 设平面曲线 为曲线弧），如图 所示 在 上从 到 依次取分点： 它们成为对曲线 的一个分割 x =A =B y o P1 P2 Pi−1 Pi Pn−1 P0 Pn
,记为T,然后用线段联结T中每相邻两点,得到C的n条弦: PP(=1,2…,m),这n条弦又成为C的一条内接折线记 丌=max{PP},s()=∑P 分别表示最长弦与折线的总长度 定义1对于曲线C的无论怎样分割T,如果存在有限极限 里lims(T)=s,则称曲线C是可求长的,并把极限s定义 →0 为曲线的弧长。 般来说,平面上连续的曲线不一定都可求长,但如果是 平面上光滑的曲线段一定是可求长的。以下讨论的曲线求 长问题都是指光滑曲线求长的问题。为此先给出光滑曲线 的定义 2
2 1 1 1 1 1 0 ( 1, 2, , ), . max , ( ) , . 1 lim ( ) , i i n i i i i i n i T T T C n P P i n n C T P P s T P P C T s T s C s − − − = → = = = = ，记为 ，然后用线段联结 中每相邻两点，得到 的 条弦： 这 条弦又成为 的一条内接折线 记 分别表示最长弦与折线的总长度 定义 对于曲线 的无论怎样分割 ，如果存在有限极限 里 则称曲线 是可求长的，并把极限 定义 为曲线的弧长。 一般来说，平面上连续的曲线不一定都可求长，但如果是 平面上光滑的曲线段一定是可求长的。以下讨论的曲线求 长问题都是指光滑曲线求长的问题。为此先给出光滑曲线 的定义
定义2设平面曲线C由参数方程:x=x(1),y=y(t),t∈[a,B]给出 如果x()、y(0)在a,月上连续,且:[x(o+[y()≠0,t∈[a,B 则称曲线C为一条光滑曲线 2、光滑曲线的弧长公式 1)、若光滑线C由参数方程:x=x(),y=y(),t∈[a,月给出,则C 定可求长,则其长为: s=」√x)+po3d() 证明 2)若光滑线C由直角坐标方程:y=f(x),x∈[a,b(或 x=g(y),y∈[a,b])给出,则由(1)易得其弧长公式为:
3 2 2 2 2 2 ( ), ( ), [ , ] . ( ) ( ) [ , ] ( ) ( ) 0 [ , 2 1) ( ), ( ), , ( ) ( ) . (1) 2) C x x t y y t t x t y t x t y t t C C x x t y y t t C s x t y t dt C = = + = = = + 定义 设平面曲线 由参数方程： 给出 如果 、 在 上连续，且： ， ， 则称曲线 为一条光滑曲线。 、光滑曲线的弧长公式 、若光滑线 由参数方程： 给出，则 一定可求长，则其长为： 证明 、若光滑线 由直角坐标方 ( ), [ , ] ( ( ), [ , ] ) 1 y f x x a b x g y y a b = = 程： 或： 给出，则由（）易得其弧长公式为：
s=」+r().(或:5=+g 3)、若光滑线C由极坐标方程:r=r(O,6∈[a,月,(r()连续, [(O)j+[r(oj≠0)给出,则由④易得其弧长公式为: r(O)+[(0)于d0.(3) 例求摆线:x=a(-sint),y=a(1-cos),(a>0)一拱的弧长 解:如图所示 C B G na
4 2 2 2 2 2 2 1 ( ) . ( 1 ( ) .) (2) 3) ( ) , ( ) ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ) . . (3) b b a a s f x dx s g y dy C r r r r r s r r d = + = + = + = + 或： 、若光滑线 由极坐标方程： ， ，（ 连续， ）给出，则由（）易得其弧长公式为： 例 求摆线： 一拱的弧长。 1 sin , 1 cos , ( 0) x a t t y a t a = − = − ( ) ( ) 解：如图所示 x y
例2求悬链线y e +e 从x=0到x=a>0的那一段弧长 2 解:如图所示: 6 e te O
5 2 0 0 2 x x e e y x x a − + 例 求悬链线 从 到 的那一段弧长。 = = = 解：如图所示： 1 08642 -5 5 1 0 M o a o a x y 2 x x e e y − + =
例3求心形线r=a(1+cos)(a>0)的周长 解:如图所示 r=a(1+cos e) 0 B C 6
6 64224 5 5 1 0 C B D2a x 0y r a = + (1 cos ) 例 求心形线 的周长。 3 (1 cos ) ( 0) r a a = + 解：如图所示：