§4函数的极值与最大(小)值 可微极值点判别法:极值问题:极值点,极大值还是极小值,极 值是多少. 1.可微极值点的必要条件: Fermat定理 函数的驻点和(连续但)不可导点统称为稳定点,稳定点的求法 2.极值点的充分条件:对每个稳定点,用以下充分条件进一步鉴别是 否为极值点 定理4(充分条件1)设函数f(x)在点x0连续,在邻域 (x-6,x)和(x,x0+6)内可导.则 )在 (x0-6,x0) 内 f'(x)0 x0为J(x)的一个极小值点 i)在(x-6,x)内f(x)>0 +6) 时,→x0为f(x)的一个极大值点 ⅲ)若f(x)在上述两个区间内同号,则x不是极值点 定理5(充分条件Ⅱ)设点列0为函数f(x)的驻点且x)存在,则 i)当(x0)0时,为f(x)的一个极小值点 f(xo)=lin 证法一 X-X
§4 函数的极值与最大(小)值 一 可微极值点判别法: 极值问题: 极值点, 极大值还是极小值, 极 值是多少. 1. 可微极值点的必要条件: Fermat 定理. 函数的驻点和(连续但)不可导点统称为稳定点, 稳定点的求法. 2. 极值点的充分条件: 对每个稳定点, 用以下充分条件进一步鉴别是 否为极值点. 定理 4 (充分条件Ⅰ) 设函数 在点 连续, 在邻域 和 内可导. 则 ⅰ） 在 内 在 内 时, 为 的一个极小值点; ⅱ） 在 内 在 内 时, 为 的一个极大值点; ⅲ） 若 在上述两个区间内同号, 则 不是极值点. 定理 5 (充分条件Ⅱ) 设点 为函数 的驻点且 存在，则 ⅰ） 当 时, 为 的一个极大值点; ⅱ） 当 时, 为 的一个极小值点. 证法一
当f"(x)<0时,在点的某空心邻域内x-x0<0→f(x)与x-异 证法二用 Taylor公式展开到二阶,带 Peano型余项. 例2.求函数y=(2x-5x的极值点与极值。 第一步:求导,找出稳定点和不可导点 2*x(2/3)+2/3*(2*x-5)/x(1/3) s=sym(2*x(2/3)+2/3*(2*x-5)/x(1/3)”) lify(s) s1=10/3*(x-1)/x^(1/3) 稳定点a=1,不可导点 利用极值充分条件决定极大极小,算出极值 由此例看出,函数也可能在不可导点取得极值,于是得出结论
当 时, 在点 的某空心邻域内 与 异 号,…… 证法二 用 Taylor 公式展开到二阶, 带 Peano 型余项. 例 2．求函数 的极值点与极值。 第一步：求导，找出稳定点和不可导点 2*x^(2/3)+2/3*(2*x-5)/x^(1/3) s=sym('2*x^(2/3)+2/3*(2*x-5)/x^(1/3)'); s1=simplify(s) s1 =10/3*(x-1)/x^(1/3) 稳定点 a=1, 不可导点 b=0 利用极值充分条件决定极大极小 , 算出极值 由此例看出，函数也可能在不可导点取得极值, 于是得出结论：
分段光滑函数的极值点的必要条件是:它是稳定点或不可导点 例3求函数()=x2432 x的极值点与极值 第一步 对函数求导,找出稳定点和不可导点 f=x 2+432/x': dfdx=diff(f dfdx=2*x-432/x2 稳定点 y=2*x-432/x2;dif(y) ans=2+864/x^3 clf,x=3:0.05:7;y=x.2+432./ lot(x, y) 130 Th6.12)(充分条件Ⅲ)设(x)2=(x)=…=/(xn)=0, 20)≠0 )n为奇数时,“0不是极值点
分段光滑函数的极值点的必要条件是: 它是稳定点或不可导点. 例 3 求函数 的极值点与极值。 第一步 对函数求导, 找出稳定点和不可导点 f='x^2+432/x'; dfdx=diff(f) dfdx = 2*x-432/x^2 稳定点 x0=6 y='2*x-432/x^2'; diff(y) ans =2+864/x^3 clf,x=3:0.05:7; y=x.^2+432./x; plot(x,y) Th 6.12)(充分条件Ⅲ ) 设 ,而 .则 ⅰ） 为奇数时, 不是极值点;
i)n为偶数时,x是极值点,且(x0)>0对应极小 f()(x0)<0对应极大 例求函数(x)=x(x-1的极值 最大值最小值 先看三个函数的图象 由上面图像看出,函数的最大最小值可能发生在稳定点处,不可导点处,也 可能发生在区间的端点。 因此,函数的最大最小值点应从:稳定点,不可导点,端点中去寻找,这三种 点中,函数取最大者为函 数的最大点,取最小者为函数的最小值点,因此求解最大最小点的步骤应为 第一步求出稳定点,不可导点和端点
ⅱ） 为偶数时, 是极值点. 且 对应极小; 对应极大. 例 求函数 的极值 二 最大值最小值 先看三个函数的图象 (c61) 由上面图像看出，函数的最大最小值可能发生在稳定点处，不可导点处， 也 可能发生在区间的端点。 因此, 函数的最大最小值点应从：稳定点, 不可导点, 端点 中去寻找， 这三种 点中，函数取最大者为函 数的最大点，取最小者为函数的最小值点，因此求解最大最小点的步骤应为: 第一步 求出稳定点, 不可导点和端点
第二步算出这些点处的函数值,其中最大者就是最大值,最小者就是最 小值 例4求函数f(x)=2x2-9x2+121在区间42上的最大与最 小值. 解:此函数是绝对值函数,且①)=0,所以x=0是角点,不可导点,再求 函数的稳定点 f=’2*x3-9*x2+12*x’;dfdx=diff(f dfdx 6*x2-18*x+12 s=6*x2-18*x+12=0; z=solve(s) 稳定点为x=1,和x=2 计算稳定点,不可导点,端点的函数值,决定出最大最小值 x=[-0.2 2.5] f=abs(2*x.3-9*x.2+12*x) f=3.5938 5.0000, 4.0000,5.0000 最小值是0,最大值是5 观看一下它的图像 x=-0.25:0.01:2.5 y=abs(2*x.3-9*x.2+12*x)
第二步 算出这些点处的函数值, 其中最大者就是最大值, 最小者就是最 小值 例 4 求函数 在区间 上的最大与最 小值. 解：此函数是绝对值函数,且 , 所以 x=0 是角点, 不可导点，再求 函数的稳定点 f='2*x^3-9*x^2+12*x'; dfdx=diff(f) dfdx = 6*x^2-18*x+12 s='6*x^2-18*x+12=0'; z=solve(s) z = 1 2 稳定点为 x=1, 和 x=2 计算稳定点, 不可导点, 端点的函数值, 决定出最大最小值 x=[-0.25,0,1,2,2.5]; f=abs(2*x.^3-9*x.^2+12*x) f =3.5938 0 ， 5.0000， 4.0000， 5.0000 最小值是 0 , 最大值是 5. 观看一下它的图像 x=-0.25:0.01:2.5; y=abs(2*x.^3-9*x.^2+12*x);
plot(x,y,’r
plot(x,y,'r')