广州大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 数列极限 2.3 数列极限存在的条件

第三节数列极限存在的条件 冯永平 Fypmath agzhu. edu. cn

第三节 数列极限存在的条件 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn

数列极限的两大问题 数列极限的存在性; (此问题为最关键的问题) 数列极限值的大小; (存在性成立后,才想办法计算极限)

数列极限的两大问题 • 数列极限的存在性； （此问题为最关键的问题） • 数列极限值的大小； （存在性成立后， 才想办法计算极限）

几种证明极限存在的方法 按照数列极限的定义证明。 按照奇、偶子列的收敛性证明 依据任意子列的收敛性证明。 利用夹逼准则证明。 最简单的思想是利用数列本身的性质 证明数列极限的存在性

几种证明极限存在的方法： • 按照数列极限的定义证明。 • 按照奇、偶子列的收敛性证明。 • 依据任意子列的收敛性证明。 • 利用夹逼准则证明。 最简单的思想是利用数列本身的性质 证明数列极限的存在性

如果数列x满足条件 x1≤x2…≤xn≤xn+1≤…,单调增加 单调数列 x1≥x2…≥xn≥xn+12…,单调减少 几个简单的单调数列: ,n=1,2,…,→ lim a=0; n→Q ,n=1,2,…,→ lim a=0; n→0 n=q",(0<q<1),n=12…→ lim a=0; n→0

几个简单的单调数列： , 1,2,... lim 0; 1 = =  = → n n n n a n a = ,(0   1), = 1,2,... lim = 0; → n n n an q q n a , 1,2,... lim 0; 1 = − =  = → n n n n a n a 如果数列x n满足条件 , x1  x2  xn  xn+1   单调增加 , x1  x2  xn  xn+1   单调减少 单调数列

准则l:单调有界准则 单调有界数列必有极限 几何解释: x1123C,xn+1了 M

x 1 x x2 x3xn xn+1 准则 I：单调有界准则 单调有界数列必有极限. 几何解释: A M

几点说明: 通常该准则变通为: 1)单调递增有上界的数列存在极限。 2)单调递减有下界的数列存在极限。 本定理只是证明了存在性。 本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性 此定理的条件为充分非必要条件。 an=(-1)”-,n=1,2

几点说明： • 通常该准则变通为： 1） 单调递增有上界的数列存在极限。 2） 单调递减有下界的数列存在极限。 • 本定理只是证明了存在性。 • 本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。 • 此定理的条件为充分非必要条件。 , 1,2,.... 1 = (−1) n = n a n n

例1设an=1+++…+ 2a3 Q,n=1,2, 其中α≥2,证明{an}收敛。 证明:{an}递增显然,下面证明有上界,事实上: a.<1+-+ 。十 2 223 <1+—+—+ ●●● 1·223 1)·n n

例1 设 其中 ，证明 收敛。 证明： 递增显然，下面证明有上界，事实上： , 1,2,... 1 ... 3 1 2 1 = 1+ + + + n = n an      2 { } an { } an 2 2 2 1 ... 3 1 2 1 1 n an  + + + + , 1,2,.... 1 = 2− n = n n −  n + +  +   + ( 1) 1 ... 2 3 1 1 2 1 1

例2证明im(1+-)”存在。 n→Q 证明: n+1 n n+1 1+ n+1 n =1+n+…C∥xw =1+(n+1) n+1…+Ck n+1 n十 1+ 十。十 k k k(1)_n(n-1).(n-k+1)

例 2 证明 存在 。 n n n ) 1 lim ( 1 + →  证明： 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 ... 1 1 1 ( 1) 1 1 1 + + + +   +  + +   + + + +  = + +    + = + k n kn n n n n C n n n a k n kn n n n n C n n n a    + +    = +  + +   = + 1 ... 1 ... 1 1 1 1   −  −   −   = −   − − +   =   nk k n n k n n n n k n C k k kn 1 ... 1 2 1 1 1 !1 1 ! 1 ( 1)...( 1)

a.=1+1+ 121 1--+…。 ●●● k n1n ●● 的展开式中共有n+1项,每一项为正数

      −  −       −      −  +      −  −       −      −  + +      = + + − n n n n n n k k n n n an 1 ... 1 2 1 1 1 ! 1 1 ... 1 2 1 1 1 ! 1 ... 1 1 2! 1 1 1 an 的展开式中共有 n+1 项，每一项为正数

an1=1+1+-1 n+1 2!(n+1 2 k-1 k!(n+1 n+1 n! h+∥1、2 n+1 n+//x (n+1)!、n+1人n+1八n+1 an的展开式中共有+2项,每一项顶为正数国□

      +  −      +  −      + − +  +      + −  −      +  −      + −  +      + −  −      +  −      + −  + +      + + = + + − 1 ... 1 1 2 1 1 1 1 ( 1)! 1 1 1 ... 1 1 2 1 1 1 1 ! 1 1 1 ... 1 1 2 1 1 1 1 ! 1 ... 1 1 1 2! 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n k k n n n an an+1 的展开式中共有n+ 2 项，每一项为正数