第九章定积分 §1定积分的概念 教学内容:1)定积分概念的引入 2)“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3)定积分的数学定义 重点:定积分的数学定义 难点:“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立 定积分概念的引入 背景: 1曲边梯形的面积 2.变力所作的功 1曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形,三角形,梯形等面积的计算,这些图形有 个共同的特征:每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是 曲边图形,他们的面积怎么计算呢?我们通常用一些小矩形面积的和来近似它 b b (四个小矩形) 九个小矩形) 曲边梯形面 积演示 上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精度高,但这 样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲边图形的准确面积呢? 比如举世瞩目的长江三峡溢流坝,其断面形状是根据流体力学原理设计的, 如图1所示,上端一段是是抛物线,中间部分是直线,下面部分是圆弧。建造这 样的大坝自然要根据它的体积备料,计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它
第九章 定 积 分 § 1 定积分的概念 教学内容： 1) 定积分概念的引入 2） “分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3) 定积分的数学定义 重 点： 定积分的数学定义 难 点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立 定积分概念的引入 一． 背景： 1 曲边梯形的面积: 2. 变力所作的功: 1 曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算，这些图形有一 个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是 曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。 [曲边梯形面 积演示] 上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精度高，但这 样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲边图形的准确面积呢？ 比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学原理设计的， 如图 1 所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线，下面部分是圆弧。建造这 样的大坝自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它
的断面面积。该断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢?在介绍微分 定义时我们已经知道,直与曲虽然是一对矛盾,但它们可以相互转化,早在三国 时代,我代数学家刘徽就提出了“割圆术”,以“直”代“曲”把圆的面积近似 看成多边形面积来计算。现在我们来计算一下溢流坝上部断面面积。 图1长江三峡溢流坝断面 假设抛物线方程为 ∈0,1 将[O,]等分成n等份,抛物线下面部分分割成n个小曲边梯形第i个小曲边 梯形用宽为n,高为 的矩形代替 它的面积
的断面面积。该断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢？在介绍微分 定义时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，早在三国 时代，我代数学家刘徽就提出了“割圆术”，以“直”代“曲”把圆的面积近似 看成多边形面积来计算。现在我们来计算一下溢流坝上部断面面积。 假设抛物线方程为 将 等分成 n 等份，抛物线下面部分分割成 n 个小曲边梯形第 i 个小曲边 梯形用宽为 ，高为 的矩形代替， 它的面积
所求的总面积 n 2n“-3n+12 我们分别取n=10,50,100用计算机把它的图象画出来,并计算出面积的 近似值 cIf, n=10 x=0:1/n:1 sn=sum((1/n)*(1-x.2)) bar(x,y,’m) 0.7150 0.8 00.10.203040.5D60.7080.9 cIf, n=5 0:1/n:1 1-x.2 sum((1/n)*(1-x.2)
所求的总面积 我们分别取 n=10, 50, 100 用计算机把它的图象画出来，并计算出面积的 近似值： clf, n=10; x=0:1/n:1; y=1-x.^2; y1='1-x.^2'; sn=sum((1/n)*(1-x.^2)) bar(x,y,'m') sn = 0.7150 clf, n=50; x=0:1/n:1; y=1-x.^2; y1='1-x.^2'; sum((1/n)*(1-x.^2))
bar(x,y,’m'),axis([0,1,0,1]) ans=0.6766 0.10.2030.40.5060.70.80.91 cIf. n=100 =0:1/n:1 sum((1/n)*(1-x.2)) bar(x,y,’m) 0.6717 0.1 0.2030. 0.50.60.7 S(10)=0.7150 S(50)= 0.6766; S(100)=0.6717 由此可知,分割越细,越接近面积准确值0666
bar(x,y,'m'), axis([0,1,0,1]) ans =0.6766 clf, n=100; x=0:1/n:1; y=1-x.^2; y1='1-x.^2'; sum((1/n)*(1-x.^2)) bar(x,y,'m') ans = 0.6717 S(10)= 0.7150; S(50)= 0.6766; S(100)=0.6717 由此可知，分割越细，越接近面积准确值
再看一个变力做功的问题 设质点m受力2(x)的作用,沿直线由A点运动到B点,求变力(x作 的功 F虽然是变力,但在很短一段间隔内△x,F的变化不大,可近似看作是常 力作功问题。按照求曲边梯形 面积的思想, [a,b作分割 b 当每个小区间的长度都很小时,小区间[x1,列上的力 FsF(2),2∈[x21,x] 在x-1上,力F作的功 △WsF(2)A 2)求和 力F在[a,上作的功 W=∑△W≈∑F(5)△x 分割越细,近似程度,分割无限细时,即分割细度‖l=max(x)→0 3)取极限对上面和式取极限,极限值,就是力在[a,]上作的功。 从上面两个例子看出,不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功,它们都 归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”,或者说都归结为形如 ∑f(5x 的和式极限问题[演示]。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来,作为一个数 学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义
再看一个变力做功的问题。 设 质点 m 受力 的作用，沿直线由 A 点运动到 B 点，求变力 作 的功 F 虽然是变力，但在很短一段间隔内 ，F 的变化不大，可近似看作是常 力作功问题。按照求曲边梯形 面积的思想， 1） 对 作分割 当每个小区间 的长度都很小时，小区间 上的力 在 上，力 F 作的功 2）求 和 力 F 在 上作的功 分割越细，近似程度，分割无限细时，即分割细度 ， 3）取极限 对上面和式取极限，极限值,就是力在 上作的功。 从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都 归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如 的和式极限问题[演示]。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数 学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义
定义设f(x)是定义在区间a,上的一个函数,在闭区间上任取 1个分点 a0总存在某个6>0,使得[a,上的任何分割T,只要它 的细度‖r‖<8,属于分割T的所有积分和2;()都有 ∑:()-J|<E 则称f(x)在a,以上可积,称J为函数f(x)在区间ab上的定积分(或黎曼积 分),记作 f(rdx 其中J(x)称为积分函数,x称为积分变量,a,b称为积分区间,a,b分别称为 积分的上限和下限。 利用积分的定义,前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为 s=If(x)dx 变力作功问题可表示为
定义 设 是定义在区间 上的一个函数，在闭区间 上任取 n-1 个分点 把 [a,b] 分成 n 个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一个分割，用 T 表示, 分割的细度用 表示，在分割 T 所属的各个小区间内各取一 点 称为介点，作和式 以后简记为 此和式称为 在 上属于分割 T 的积分和（或黎曼和，设 是一个确定 的数，若对任意 总存在某个 ，使得 上的任何分割 T，只要它 的细度 ，属于分割 T 的所有积分和 都有 则称 在 上可积，称 J 为函数 在区间 上的定积分(或黎曼积 分)，记作 其中 称为积分函数， 称为积分变量， 称为积分区间， 分别称为 积分 的上限和下限。 利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为 变力作功问题可表示为
W=F(x)dx 例用定义求积分 1+x 解分法与介点集选法如例1,有 上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是积分+x2 三,理解定积分定义要注意以下三点: 1)定积分定义与我们前面讲的函数极限的“E-6”定义形式上非常相似,但 是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说,给定了细度7‖以后,积分和 并不唯一确定,同一细度分割由无穷多种,即使分割确定,介点仍可以任意选 取,所以积分和的极限比前面讲的函数极限要复杂的多。 2)定积分是积分和的极限,积分值与积分变量的符号无关 f(e)dt=f(x)dx= f(u)du 7|→0表示分割越来越细的过程,‖→0分点个数η→, 但反过米→四并不能保证1|→0,所以2(△不能写 ∑()△x 成 四.小结:学习定积分,不仅要理解、记住定积分的定义,还要学习建立定积分 概念的基本思想,我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分,比如勒贝格积分
例 用定义求积分 . 解 分法与介点集选法如例 1 , 有 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分 . 三．理解定积分定义要注意以下三点： 1）定积分定义与我们前面讲的函数极限的“ ”定义形式上非常相似，但 是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说，给定了细度 以后，积分和 并不唯一确定，同一细度分割由无穷多种，即使分割确定，介点 仍可以任意选 取，所以积分和的极限比前面讲的函数极限要复杂的多。 2）定积分是积分和的极限，积分值与积分变量的符号无关 3) 表示分割越来越细的过程， 分点个数 ， 但反过来 并不能保证 ， 所以 不能写 成 四．小结：学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分 概念的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分
斯蒂疌斯积分等,只要理解了定积分的思想,其他类型的积分就很容易理解了。 现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法:从定积分的实例和概念中看 到定积分的基本思想是:首先作分割然后用“直”的长方形去近似代替小曲边梯 形,以“直”代“曲”;然后把所有长方形加起来,近似求和,得到曲边梯形 f(rd 面积的一个近似值;当分割无限加细时,就得到曲边梯形的准确值,即a 这时又从“直”回到了“曲”。“分割、近似求和、取极限”是定积分的核心思 牛顿(I. Newton1642.12.25-1727.3.3) 英国数学家和物理学家出生在一个农民家庭,出生前父亲就去世 了,三岁时母亲改嫁,由外祖母抚养。1661年入剑桥大学,1665年获 学士学位,1668年获硕士学位。由于他出色的成就,1669年巴鲁 ( Barrow)把数学教授的职位让给年仅26岁的牛顿。1703年被选为英 国皇家学会会长。牛顿一生成就辉煌,堪称科学巨匠。最突出的有四项 重大贡献:创立微积分,为近代数学奠定了基础,推动了整个科学技术 的发展。他发现了力学三大定律,为经典力学奠定了基础:他发现了万 有引力为近代天文学奠定了基础;他对光谱分析的实验,为近代光学奠定了基础。他的巨著《自 然晢学的数学原理》影响深远,他被公认为历史上伟大的科学家。可惜他晚年研究神学,走了弯 黎曼(B. Riemann1826.9.17-1866.7.20) 德国数学家,出生在德国一个乡村牧师家庭,在哥廷根大学和柏林大 学学习,1851年获博士学位1859年任教授,1886年因肺结核去世。他四 十年的生涯中,在数学许多分支,都作出了划时代贡献。他在1851年的博
斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。 现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中看 到定积分的基本思想是：首先作分割然后用“直”的长方形去近似代替小曲边梯 形，以“直” 代“曲”；然后把所有长方形加起来，近似求和，得到曲边梯形 面积的一个近似值；当分割无限加细时，就得到曲边梯形的准确值，即 ， 这时又从“直”回到了“曲”。“分割、近似求和、取极限”是定积分的核心思 想。 牛 顿（I.Newton 1642.12.25—1727.3.3） 英国数学家和物理学家出生在一个农民家庭，出生前父亲就去世 了，三岁时母亲改嫁，由外祖母抚养。1661 年入剑桥大学，1665 年获 学士学 位，1668 年获硕士学位。由于他出色的成就，1669 年巴鲁 （Barrow）把数学教授的职位让给年仅 26 岁的牛顿。1703 年被选为英 国皇家学会会长。牛顿一生成就辉煌，堪称科学巨匠。最突出的有四项 重大贡献：创立微积分，为近代数学奠定了基础，推动了整个科学技术 的发展。他发现了力学三大定律，为经典力学奠定了基础；他发现了万 有引力为近代天文学奠定了基础；他对光谱分析的实验，为近代光学奠定了基础。他的巨著《自 然哲学的数学原理》影响深远，他被公认为历史上伟大的科学家。可惜他晚年研究神学，走了弯 路。 黎 曼（B.Riemann 1826.9.17-1866.7.20） 德国数学家，出生在德国一个乡村牧师家庭，在哥廷根大学和柏林大 学学习，1851 年获博士学位 1859 年任教授，1886 年因肺结核去世。他四 十年的生涯中，在数学许多分支，都作出了划时代贡献。他在 1851 年的博
士论文“复变函数论的基础”给出了保角影射的基本定理,是几何函数论的基础,1854年定义 了黎曼积分,又提出了关于三角级数收敛的黎曼条件。同年在他的另一篇论文中引入n维流形和 黎曼空间的概念,并定义了黎曼空间的曲率,开辟了几何学的新领域。1857年他在关于阿贝尔 函数的论文中,引入了黎曼面概念,奠定了复变函数的几何理论基础,1858年他关于素数分布 的论文,用黎曼函数论述了素数的分布,开辟了解吸函数论。在此论文中还提出了柯西函数零点 分布的黎曼猜想,至尽还未解决。他在非欧几何、偏微分方程、理论物理、椭圆函数论等方面都 有杰出贡献,不愧是一位具有开拓精神的伟大数学家 小知识:中国古代数学对微积分创立的贡献 微积分的产生一般分为三个阶段:极限概念:求积的无限小方法:积分与微分的互逆关系。 最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作,欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的 阿基米德都作出了各自的贡献。对于这方面的工作,古代中国毫不逊色于西方,微积分思想在古 代中国早有萌芽,甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极 限思想:公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小(最小无内)、无穷大(最大无外) 的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积,求得圆周率约 等于3.1416,他的极限思想和无穷小方法,是世界古代极限思想的深刻体现。微积分思想虽然 可追朔古希腊,但它的概念和法则却是16世纪下半叶,开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思 想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的 证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙 积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。特别是13世纪40 年代到14世纪初,在主要领域都达到了中国古代数学的高峰,出现了现通称贾宪三角形的“开 方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”(一次同余 式组解法)、“垛积术”(高阶等差级数求和)、“招差术”(高次差内差法)、“天元术”(数 字高次方程一般解法)、“四元术”(四元高次方程组解法)、勾股数学、弧矢割圆术、组合数 学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果,中国古代数学有了微积 分前两阶段的出色工作,其中许多都是微积分得以创立的关键。中国已具备了17世纪发明微积 分前夕的全部内在条件,已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后,八股取士制造成了学术 上的大倒退,封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落,在微积分创立 的最关键一步落伍了
士论文“复变函数论的基础”给出了保角影射的基本定理，是几何函数论的基础，1854 年定义 了黎曼积分，又提出了关于三角级数收敛的黎曼条件。同年在他的另一篇论文中引入 n 维流形和 黎曼空间的概念，并定义了黎曼空间的曲率，开辟了几何学的新领域。1857 年他在关于阿贝尔 函数的论文中，引入了黎曼面概念，奠定了复变函数的几何理论基础，1858 年他关于素数分布 的论文，用黎曼函数论述了素数的分布，开辟了解吸函数论。在此论文中还提出了柯西函数零点 分布的黎曼猜想，至尽还未解决。他在非欧几何、偏微分方程、理论物理、椭圆函数论等方面都 有杰出贡献，不愧是一位具有开拓精神的伟大数学家。 小知识：中国古代数学对微积分创立的贡献 微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系。 最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的 阿基米德都作出了各自的贡献。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古 代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前 7 世纪老庄哲学中就有无限可分性和极 限思想；公元前 4 世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外） 的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元 263 年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约 等于 3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。微积分思想虽然 可追朔古希腊，但它的概念和法则却是 16 世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思 想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的 证明到公元 5 世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙 积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。特别是 13 世纪 40 年代到 14 世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开 方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余 式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数 字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数 学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了微积 分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。中国已具备了 17 世纪发明微积 分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术 上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立 的最关键一步落伍了