§2实数基本定理等价性的证明 证明若干个命题等价的一般方法 本节证明七个实数基本定理等价性的路线:证明按以下三条路线进行 I:确界原理→单调有界原理→区间套定理→ Cauchy收敛准则 确界原理 Ⅱ1:区间套定理→致密性定理→ Cauchy收敛准则 Ⅲ:区间套定理→ Heine- Borel有限复盖定理→区间套定理 “Ⅰ”的证明:(“确界原理→单调有界原理”已证明过) 1.用“确界原理”证明“单调有界原理” 定理1单调有界数列必收敛 2.用“单调有界原理”证明“区间套定理”: 定理2设{[a,,b。] 是一闭区间套.则存在唯一的点5,使对Vn有 推论1若∈[a,]是区间套{[a,b])确定的公共点,则对 彐N 当>M时,总有[a2,]cUE,E) 推论2若5∈[a,]是区间套(a,确定的公共点,则有 ay5,h5,(n→∞) 3.用“区间套定理”证明“ Cauchy收敛准则”: 定理3数列(a)收敛台(a)是 Cauch列
§ 2 实数基本定理等价性的证明 证明若干个命题等价的一般方法. 本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行: Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套定理 Cauchy 收敛准则 确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy 收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理 区间套定理 . 一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ). 1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”: 定理 1 单调有界数列必收敛 . 2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”: 定理 2 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 . 推论 1 若 是区间套 确定的公共点, 则对 , 当 时, 总有 . 推论 2 若 是区间套 确定的公共点, 则有 ↗ , ↘ , . 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”: 定理 3 数列 收敛 是 Cauchy 列
引理 Cauchy列是有界列 (证) 定理4的证明:(只证充分性)教科书P217-218上的证明留作阅 读.现采用三等分的方法证明, 该证法比较直观 4.用“ Cauchy收敛准则”证明“确界原理” 定理5非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界 证(只证“非空有上界数集必有上确界”)设E为非空有上界数集.当 E为有限集时,显然有上确 界.下设E为无限集,取1不是E的上界,的为E的上界.对分区间 [a2,b1],取 [a2,b2],使a2不是 E的上界,b2为E的上界.依此得闭区间列[a,).验证{b,)为 Cauch 列,由 Cauch收敛准则,(b,) 收敛;同理{a)收敛.易见b、,设、.有a,A 下证PB=8.用反证法验证的上界性和最小性 “Ⅱ”的证明: 用“区间套定理”证明“致密性定理” 定理6( Weierstrass)任一有界数列必有收敛子列. 证 (突出子列抽取技巧) 定理7每一个有界无穷点集必有聚点 2.用“致密性定理”证明“ Cauchy收敛准则”: 定理8数列(aa)收敛 an)是 cauchy列
引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 ) 定理 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书 P217—218 上的证明留作阅 读 . 现采用三等分的方法证明, 该证法比较直观. 4． 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ： 定理 5 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 . 证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设 为非空有上界数集 . 当 为有限集时 , 显然有上确 界 .下设 为无限集, 取 不是 的上界, 为 的上界. 对分区间 , 取 , 使 不是 的上界, 为 的上界. 依此得闭区间列 . 验证 为 Cauchy 列, 由 Cauchy 收敛准则, 收敛; 同理 收敛. 易见 ↘. 设 ↘ .有 ↗ . 下证 .用反证法验证 的上界性和最小性. 二. “Ⅱ” 的证明: 1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”: 定理 6 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 证 （ 突出子列抽取技巧 ） 定理 7 每一个有界无穷点集必有聚点. 2．用“致密性定理” 证明“Cauchy 收敛准则” ： 定理 8 数列 收敛 是 Cauchy 列
证(只证充分性)证明思路: Cauchy列有界→有收敛子列→验 证收敛子列的极限即为{a)的极限 “Ⅲ”的证明 1.用“区间套定理”证明“ Heine- Borel有限复盖定理” 用“ Heine- Borel有限复盖定理”证明“区间套定理
证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy 列有界 有收敛子列 验 证收敛子列的极限即为 的极限. “Ⅲ” 的证明: 1. 用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”: 2. 用“Heine–Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”: