第三节 第十八章 多元函数微分学的几何应用 空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 复习目录上页下页返回结束
第三节 复习 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第十八章
复习:平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线y=f(x)在点(x,y0)有 切线方程y-1=f(xx-x) 法线方程y-y 若平面光滑曲线方程为F(x,y)=0因 dy Fr(x, y) 故在点(xo,y0)有 dx Fy(x,y) 切线方程F(x2010)(x-x)+F1(x0,y0Xy-y0)=0 法线方程F,(x0yXx-x0)-F3(x0y0)(y-y0)=0 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 ( , ) 0 0 x y 切线方程 0 y − y 法线方程 0 y − y 若平面光滑曲线方程为 ( , ) ( , ) d d F x y F x y x y y x = − 故在点 切线方程 法线方程 ( ) 0 ( , )( ) + Fy (x0 , y0 ) y − y 0 0 0 F x y x x x − = 0 ( )( ) 0 0 = f x x − x ( ) ( ) 1 0 0 x x f x − = − 在点 有 有 因 ( , )( ) 0 Fy (x0 , y0 )(x − x0 )− Fx x0 y0 y − y0 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限 位置过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面 T M 点击图中任意点动画开始或暂停 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
一、空间曲线的切线与法平面 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置. T M 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面. 点击图中任意点动画开始或暂停
1.曲线方程为参数方程的情况 I:x=9(),y=(),2=0()M∠M 设t=0对应M(x,y,=0) t=1o+M对应M(x△x,y+△y,=0+△z) 割线MM的方程: x-ro y-VO 0 △ △ △z 上述方程之分母同除以△t,令Δt→>0,得 切线方程 y=yO (to)v()o’(t0) HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
1. 曲线方程为参数方程的情况 切线方程 0 0 0 x x y y z − z = − = − ( , , ) 0 0 0 0 设 t = t 对应M x y z ( , , ) 0 0 0 0 t = t + t 对应M x + x y + y z + z ( ) 0 t ( ) 0 t ( ) 0 t 机动 目录 上页 下页 返回 结束T M 割线 MM的方程:
此处要求p(),v(0),O′(to)不全为0 如个别为0,则理解为分子为0 F 切线的方向向量 T=(q(o),v(0),O'(to) r(t 称为曲线的切向量 T也是法平面的法向量,因此得法平面方程 0(t0(x-x0)+v"(t0)(y-y)+O'(t0)(z-z0)=0 说明:若引进向量函数r(1)=(0(t),v(t),(),则r 为r()的矢端曲线,而在t处的导向量 r(0)=(q(o0),v(to)2O’(to) 就是该点的切向量 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
( )( ) 0 0 t x − x 此处要求 ( ), ( ), ( ) 0 0 0 t t t 也是法平面的法向量, 切线的方向向量: 称为曲线的切向量 . ( )( ) 0 0 + t y − y +(t0 )(z − z0 ) = 0 如个别为0, 则理解为分子为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 M 不全为0, ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 T = t t t 因此得法平面方程 说明: 若引进向量函数 r(t) = ((t), (t), (t)) , 则 为 r (t) 的矢端曲线, 0 而在 t 处的导向量 ( ) ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 0 r t = t t t 就是该点的切向量. o r(t) T
例1.求圆柱螺旋线x= Rcos o,y=Rsin,z=k在 0=2对应点处的切线方程和法平面方程 解:由于x=-Rsin,y= Rcos o,z=k,当=翌时, 对应的切向量为T=(-R,0,k),故 k Mo(0.R.k 切线方程 x R R 0 k 即 kx+rz-RK=O y-R=0 法平面方程-Rx+k(-k)=0 即 Rx-kz+ik=o x y HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
z x y o 例1. 求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程. 切线方程 = − R x 法平面方程 − R x 0 2 2 R x − k z + k = 即 − = + − = 0 0 2 y R k x Rz Rk 即 解: 由于 0 y − R k z k 2 − = (0, , ) 0 2 M R k 对应的切向量为 ( ) 0 2 + k z − k = 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 T = (−R, 0, k) , 故
2曲线为一般式的情况 光滑曲线 F(x,y,2z)=0 IG(x, 3, 2)=0 当 0(B)≠0时,r可表示为y=9(x),且有 0(F,G y(x) dy l a(f,g dz 1 a(F,G X dx j az,x) dx a(r,y) 曲线上一点M(x0,y,2)处的切向量为y2 7={1,g(x),v(x)} 1O(F,G)10(F,G (=,x)M(①(x,y)M HIGH EDUCATION PRESS ◎令90@ 机动目录上页下页返回结束
2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 : G x y z F x y z 当 0 ( , ) ( , ) = y z F G J = x y d d 曲线上一点 ( , , ) 0 0 0 M x y z , 且有 = x z d d , ( , ) 1 ( , ) z x F G J , ( , ) 1 ( , ) x y F G J 时, 可表示为 处的切向量为 = M x y M F G z x J F G J ( , ) 1 ( , ) , ( , ) 1 ( , ) 1, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 T = 1,(x0 ),(x0 )
或7=(F,G) 0(F,G 0(F,G a(,2)Ma(2,x)Ma(,y)M 则在点M(x02y,= X-x 切线方程 y=yO OFG a(F,G O(F,G) a(, z)M a(z, x)M a(x, y)M 法平面方程 O(F,G) OF, G) (x-x0)+a(,x)M (y-y0 O(F,G) (z-20)=0 a(x, y)M HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
0 0 0 x x y y z − z = − = − y z M F G ( , ) ( , ) 则在点 ( , , ) 0 0 0 M x y z 切线方程 法平面方程 有 y z M F G ( , ) ( , ) z x M F G ( , ) ( , ) x y M F G ( , ) ( , ) ( ) 0 x − x x y M F G ( , ) ( , ) + z x M F G ( , ) ( , ) + ( ) 0 y − y (z − z0 ) = 0 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = M M x y M F G z x F G y z F G T ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) , ( , ) ( , )
法平面方程 OF,G aF,G M (y-yo OF,G M (z-20)=0 (x,y) 也可表为 xo y-yo F(M)F(M)F2(M)|=0 GM)G(M G(M HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 = − − − G M G M G M F M F M F M x x y y z z x y z x y z 也可表为 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0 0 y y z x M F G x x y z M F G − − + 法平面方程 ( ) 0 ( , ) ( , ) − 0 = + z z x y M F G 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求曲线x2+y2+2=6,x+y+2=0在点 M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程 解法1令F=x2+y2+z2,G=x+y+2,则 0(F,G) y 2(y-2) M M 0(F,G OFG 0: 6 X 0(2,x)M 0(x,y) y 切向量T=(-6,0,6) 切线方程t-1y+2_z-1 x+z-2=0 即 6 0 y+2=0 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束
例2. 求曲线 6, 0 2 2 2 x + y + z = x + y + z = 在点 M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. y z M F G ( , ) ( , ) 切线方程 解法1 令 则 即 + = + − = 2 0 2 0 y x z 切向量 M y z 1 1 2 2 = M = 2( y − z) = −6; x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束 T = (− 6, 0, 6)
