第 第十八章 隐菡数 、一个方程所确定的隐函数 及其导数 方程组所确定的隐函数组 及其导数 鲁 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
第一节 第十八章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 隐函数
本节讨论 方程在什么条件下才能确定隐函数 例如,方程x2+y+C=0 当C0时,不能确定隐函数 2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 0 2 x y C 当 C 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
个方程所确定的隐函数及其导数 定理1.设函数F(x,y)在点P(x0,y0)某一邻域内满足 ①具有连续的偏导数 ②2F(x0,y0)=0 Fp(x0,y0)≠0 则方程F(x,y)=0在点x0的某邻域内可唯一确定一个 单值连续函数y=f(x),满足条件y0=f(x0),并有连续 导数 d_d F (隐函数求导公式 x F 定理证明从略,仅就求导公式推导如下: HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 ( , ) 0 0 F(x, y) P x y ( , ) 0; F x0 y0 则方程 0 F(x, y) 0在点x 单值连续函数 y = f (x) , ( ), 0 0 y f x 并有连续 y x F F x y d d (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ( , ) 0 Fy x0 y0 ② ③ 满足条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数
设y=f(x)为方程F(x,y)=0所确定的隐函数,则 F(x,f(x)≡0 两边对x求导 af aFd y ax ovx 在(x,y)的某邻域内Fn≠0 d dx F HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
F(x, f (x)) 0 两边对 x 求导 0 d d x y y F x F y x F F x y d d 0 Fy 设 y f (x) 为方程 F(x, y) 0 所确定的隐函数 , 在( , ) 0 0 x y 的某邻域内 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,则还有 二阶导数 ydFry.a Fr dy y dx 2 ax F ay F dx x FrrFy-eurer frf- fff F F FxxFy-2FxyFx Fy+ Fuy Fx HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 2 2 d d x y 2 y xx y yx x F F F F F 3 2 2 2 y xx y x y x y y y x F F F F F F F F y x F F ( ) y x F F y ( ) 2 y x y xy y y y x F F F F F F F 二阶导数 : ( ) y x F F x x y x x y d d 则还有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1验证方程siny+ex-xy-1=0在点0.)某邻域 可确定一个单值可导隐函数y=f(x),并求 d dx x=0, dx2 x=o 解:令F(x,y)=siny+e2-xy-1,则 ①F1=e2-y,F=cosy-x连续, ②2F(0,0)=0, ③F1(00)=1≠0 由定理1可知,在x=0的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数y=f(x),且 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
例1. 验证方程 sin y e xy 1 0 x 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 y f (x), 0 d d , d 0 d 2 2 x x y x x y 解: 令F(x, y) sin y e xy 1, x F(0,0) 0, F e y, x x 连续 , 由 定理1 可知, (0,0) 1 Fy 0 ① 导的隐函数 y f (x), 则 F y x y cos ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求
d F et 1 dx x=0 F,x=o y cosy-x x=0,y=0 dx2x=0 d dx cosy-xx=0,y=0,y=-1 (e-y)(cos y-x)-(e-y(sin y. y'-I x=0 (cos y-x) HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
d 0 d x x y 0 F x F y x 1 cos y x e y x x 0, y 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 d 0 d 2 2 x x y ) cos ( d d y x e y x x 2 ( cos y x ) 3 1 0 0 y y x ( e y ) x (cos y x) (e y) x (sin y y 1) x 0, y 0, y 1
导数的另一求法—利用隐函数求导 sin y +e-xy-l=0, y=y(x) y 两边对x求导 0 e=y cosy.y+e-y-xy'=0 Cos y-x 两边再对x求导 sin y (y)+cosy.y"+e-y'-y'xy=0 令x=0,注意此时y=0,y=-1 d y dxx 0 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
0 x y 3 0 d d 2 2 x x y sin y e xy 1 0, y y(x) x cos y y 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 1 sin y ( y ) cos y y 2 令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1 e y y x y 0 x x e y xy 0 cos y x (0,0) e y x 导数的另一求法 — 利用隐函数求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2.若函数F(x,y,2)满足: ①在点P(x,y,=0)的某邻域内具有连续偏导数 ②F(x0,y,0 )=0 ③F(x2y02=0)≠0 则方程F(x,y,z)=0在点(x,y0)某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数z=f(x,y),满足z0=f(x0,y0) 并有连续偏导数 az F. az F. a F 定理证明从略,仅就求导公式推导如下 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
定理2 . 若函数 ( , , ) 0 0 0 P x y z F(x, y,z) z y z x F F y z F F x z , 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 F(x, y,z) 0在点( , ) 0 0 x y 并有连续偏导数 ( , ), 0 0 0 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , z f x y 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 ( , , ) 0 F x0 y0 z0 ( , , ) 0 Fz x0 y0 z0 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 机动 目录 上页 下页 返回 结束
设z=f(x,y)是方程F(x,y)=0所确定的隐函数,则 F(x,y,f(x,y))≡0 两边对x求偏导 F+F 0 在(x02y0,=0)的某邻城内F≠0 F ax F 同样可得OF HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
F(x, y , f (x , y ) ) 0 两边对 x 求偏导 Fx z x F F x z z y F F y z 同样可得 设 z f (x, y) 是方程 F(x, y) 0 所确定的隐函数 , 则 Fz x z 0 ( , , ) 0 在 x0 y0 z0 的某邻域内Fz 机动 目录 上页 下页 返回 结束