广州大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）函数极限概念

第一节函数极限概念 冯永平 Fypmath agzhu. edu. cn

第一节 函数极限概念 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn

自变量趋向无穷大时函数的极限 观察函数当x→+∞时的变化趋势

x . x sin x 观察函数 当 → + 时的变化趋势 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 x x y sin =

问题:函数y=f(x)在x→+的过程中,对 应函数值∫(x)无限趋近于确定值A. 通过上面的观察 当x无限增大时,∫(x)= SInx 无限接近于0 问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近 f(x)-AX表示x→+∞的过程□

问 题:函 数 y = f ( x)在x → +  的过程中, 对 应函数值 f (x)无限趋近于确定值 A. f (x) − A   表示 f (x) − A任意小; x  X 表示x → +的过程. 0. sin 当 无限增大时, ( ) 无限接近于 x x x f x = 通过上面的观察: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近

1定义 定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在着正数X,使得对于适合不等式>X的 切x,所对应的函数值∫(x)都满足不等式, f(x)-A+0) +0 "E-X"定义im∫(x)=A兮 x-+0 vE>0,3X>0,使当x>X时,恒有f(x)-A<G

1. 定义 : " − X"定义   0,X  0,使当x  X时,恒有 f (x) − A   . lim x→+  f (x) = A  定义1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数 ,使得对于适合不等式 的一 切 , 所对应的函数值 都满足不等式, 那末常数 就叫函数 当 时的极限, 记作  X x  X x f (x) f (x) − A   A f (x) x → + ( ) = ( ) → ( → +) →+  lim f x A f x A x x 或 当

2另两种情形: 1.x→)-0情形:limf(x)=A vE>0,X>0,使当x0,3X>0,使当x利时,恒有f(x)-A<E 定理:imf(x)=A台lim∫(x)=A且lim∫(x)=A. x→+

. x →  情形 : 0 2   0, X  0,使当| x | X时,恒有 f (x) − A   . . x → − 情形 : 0 1 f x A x = →− lim ( )   0,X  0,使当x  −X时,恒有 f ( x ) − A   . lim f x A x = → ( ) 2.另两种情形: 定理:lim x→ f (x) = A  lim f (x) A lim f (x) A. x x = = →+  且 →− 

3几何解释:limf(x)=A sInx J 当xX时,函数y=f(x)图形完全落在以 直线y=A为中心线,宽为28的带形区域内

x x y sin = 3.几何解释: −   − X X , 2 . , ( ) 直线 为中心线 宽为 的带形区域内 当 或 时 函数 图形完全落在以 =   −  = y A x X x X y f x A lim f x A x = → ( )

例1证明im=0. 证 0=0,取X=,则当x>X时恒有 -00X

例 1 0 . 1 lim = x →  x 证明 证 x x1 0 1  − =   ,   0 , , 1 取 X = 则当 x  X时恒有 0 , 1 −   x 0. 1 lim = x →  x 故

例2证明 lim arctan x=一 HIE VE>0, arctan x-(Ke+ arctan0取X=mz-则当x>X时恒有 元 故 lim arctan x= 元 arctanx-(o) <e, -00

例2 . 2 lim arctan  = →−  x x 证明 证   0, , 2 tan       = −  取 X 则当 x  X时恒有 ) , 2 arctan (   x − −  2 arctan 2 )| 2 0,| arctan (        − −   −   − −   x x 左半部分成立，只考察右半部分 的范围， ，则有： 2           = − −       −     2 tan 2 x tan . 2 lim arctan  = →−  x x 故

自变量趋向有限值时函数的极限 问题:函数y=∫(x)在x→x0的过程中对应 函数值∫(x)无限趋近于确定值A ∫(x)-A<E表示f(x)-A任意小 0<x-x<6表示x→x的过程 x0+δ 点x的去心δ邻域,δ体现接近x程度

二、自变量趋向有限值时函数的极限 问 题:函 数 y = f ( x)在 x → x0的过程中,对 应 函数值 f (x)无限趋近于确定值 A. f (x) − A   表示 f (x) − A任意小; x0 −  x0 +  x x0   , 点x0的去心邻域 体现x接近x 程度.  0 x x 表示x x的过程. 0 0 0  −   →

1定义: 定义2如果对于任意给定的正数8(不论它多么小), 总存在正数δ使得对于适合不等式0x) x→x0 "E-6”定义ve>0,38>0,使当0<x-x<8时, 恒有∫(x)-A<E

1.定义: " − "定义 ( ) . 0, 0, 0 , 0 −        −   f x A x x 恒有 使当 时 定义2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正数 ,使得对于适合不等式 的一切 ,对应的函数值 都满足不等式, 那末常数 就叫函数 当 时的极限, 记作    −   0 x x0 x f (x) f (x) − A   A f (x) x → x0 lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A f x A x x x x = → → → 或 当