第二章数列极限 §1数列极限概念 教学目标 使学生初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延; 2°使学生学会用定义证明极限的基本方法 3°通过知识学习,加深对数学的抽象性特点的认识:体验数学概念形成 的抽象化思维方法;体验数学 “符号化”的意义及“数形结合”方法 4°了解我国古代数学家关于极限思想的论述,增强爱国主义观念。 我们已经有了函数的概念,但如果我们只停留在函数概念本身去研究运 动,即如果仅仅把运动看成物 体在某一时刻在某一地方,那我们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的 目的,我们就事实上还没有脱 离初等数学的领域,只有我们用动态的观点揭示出函数y=f(x)所确定的两 个变量之间的变化关系时 我们才算真正开始进入高等数学的研究领域。极限是进入高等数学的钥匙和 工具。我们从最简单的也是最 基本的数列极限开始研究。 1数列极限的概念
第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目标： 1° 使学生初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延； 2° 使学生学会用定义证明极限的基本方法； 3° 通过知识学习，加深对数学的抽象性特点的认识；体验数学概念形成 的抽象化思维方法；体验数学 “符号化”的意义及“数形结合”方法； 4° 了解我国古代数学家关于极限思想的论述，增强爱国主义观念。 我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去研究运 动，即如果仅仅把运动看成物 体在某一时刻在某一地方，那我们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的 目的，我们就事实上还没有脱 离初等数学的领域，只有我们用动态的观点揭示出函数 y＝f（x）所确定的两 个变量之间的变化关系时， 我们才算真正开始进入高等数学的研究领域。极限是进入高等数学的钥匙和 工具。我们从最简单的也是最 基本的数列极限开始研究。 1 数列极限的概念
数列极限来自实践,它有丰富的实际背景。我们的祖先 很早就对数列进行了研究, 早在战国时期就有了极限的概念 例1战国时代哲学家庄周所著的《庄子。天下篇》引 用过一句话:“一尺之棰,日 取其半,万世不竭。”也就是说一根一尺长的木棒,每 天截去一半,这样的过程可以 直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列, 如图所示,(c11(k))其长度 组成的数列为(2 n=10 x=0:n;y=1./2.x x1=[0:n];y1=1./2.x line([x1;x1],[0*x1;y1],’ linewidth’,5) axis([-1,n+1,0,1.1]) 随着n无限的增加,木棒的长度无限的趋近于零
数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。我们的祖先 很早就对数列进行了研究， 早在战国时期就有了极限的概念 例 1 战国时代哲学家庄周所著的《庄子。天下篇》引 用过一句话：“一尺之棰，日 取其半，万世不竭。”也就是说一根一尺长的木棒，每 天截去一半，这样的过程可以 一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列, 如图所示, （c11(k)） 其长度 组成的数列为 , n=10; x=0:n; y=1./2.^x; x1=[0:n]; y1=1./2.^x; line([x1;x1],[0*x1;y1],'linewidth',5) axis([-1,n+1,0,1.1]) 随着 n 无限的增加, 木棒的长度无限的趋近于零
对于圆周率丌的估计,我国古代数学家作出了很 大贡献。我国最早的算书 《周髀算经》(公元700年)已经谈到“圆径一而 周 丌3 三国时期(263),我国科学家刘徽就提出了“割圆 求周”的思想,直径为1 圆周分成六等份,量得圆内接正六边形的周长,再 平分各弧量出内接正十二边 形的周长,这样分割下去,算出了丌N3.14(称徽 率)。南北朝时代的祖冲之 (429-500)在《缀术》一书中求得丌在31415926 与3.1415927之间,于是 定丌3.14159265叫做圆率正数,133叫做 “密率 丌7叫做“约 率”,后人总称“祖率”。祖冲之的密率要比欧 洲最早得出这个近似值德人 鄂图早1100余年 例2刘徽用直径为1的圆周分成六等份,量得圆内接正六边形的周长, 再平分各弧量出内接正十 边形的周长,这样无限制的分割下去,得到的内接多边形,就是一个收敛数列 试分析它的收敛性
对于圆周率 的估计，我国古代数学家作出了很 大贡献。我国最早的算书 《周髀算经》（公元 700 年）已经谈到“圆径一而 周三”，即 ， 三国时期（263），我国科学家刘徽就提出了“割圆 求周”的思想，直径为 1 圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长，再 平分各弧量出内接正十二边 形的周长，这样分割下去，算出了 （称徽 率）。南北朝时代的祖冲之 （429-500）在《缀术》一书中求得 在 与 之间，于是 定 叫做圆率正数， 叫做 “密率”， 叫做“约 率 ”，后人总称“祖率”。祖冲之 的密率 要比欧 洲最早得出这个近似值德人 鄂图早 1100 余年。 例 2 刘徽用直径为 1 的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长， 再平分各弧量出内接正十二 边形的周长，这样无限制的分割下去，得到的内接多边形,就是一个收敛数列. 试分析它的收敛性
+1 4 05 用 Matlab计算a和图示如下: clf, n=18: t=0:2*pi/n: 2*pi: r=l*ones(size(t)) for i=l: n; z=i*sin(pi /i)
= ) 用 Matlab 计算 和图示如下： clf, n=18; t=0:2*pi/n:2*pi; r=1*ones(size(t)); for i=1:n; z=i*sin(pi./i);
polar(t, r) 可以看出,随着n的无限增大,a无限地接近圆的周长丌。这正如 刘徽所说“割之弥细,所失弥 小,割之又割,以之不可割,则与圆合体而无所失矣” 这两个数列有一个共同的特征,都存在一个常数A,当充分大时, a,-A|充分的小,即不管事 先给多么小的一个正数,比如0.1,0.01,0.001 我们都能找到一个 相应的自然数N,当n>M a2-Ak<0.1,0.01,0001 lf,n=30:k=1:n ak=l/k plot(k, ak, ' r'), hold on plot([0,n],[0,0]) axis([1,n,-0.5,1])
end polar(t,r); 可以看出，随着 的无限增大， 无限地接近圆的周长 。 这正如 刘徽所说“割之弥细，所失弥 小，割之又割，以之不可割，则与圆合体而无所失矣”。 这两个数列有一个共同的特征，都存在一个常数 ， 当 充分大时， 充分的小， 即不管事 先给多么小的一个正数， 比如 0.1, 0.01, 0.001 … , 我们都能找到一个 相应的自然数 ， 当 时 clf, n=30; k=1:n; ak=1./k; plot(k,ak,'r.'),hold on plot([0,n],[0,0]) axis([1,n,-0.5,1])
由此,可给出数列的定义 对于数列(a,),设A是一个常数,若任给E>0,都存在 相应的自 然数M,n>M时,|a,-4|<,则称A为数列(a)的极限。 下面我们通过图示,对数列定义作几点说明: (1)C的任意性 (2)N的相应性 lin 三、用极限定义证明→∞ 的例题 im 例1.证明 (K为正实数) 证:由于
由此，可给出数列的定义： 对于数列 ，设 A 是一个常数，若任给 ，都存在 相应的自 然数 时， ，则称 A 为数列 的极限。 下面我们通过图示，对数列定义作几点说明： （1） 的任意性 （2） 的相应性 三、用极限定义证明 的例题 例 1.证明 （K 为正实数） 证：由于
所以ε>0,取N= 当n>N时,便有 k 注:或写作:ε>0,取N= 当n>N时,有 0 例2.证明 1212 ≤-〈E 分析,要使x2-4x2-4x(为简化,限定n23 2> 只要 E>0,取M=ma 当n>N,有 12 E 由定义 适当予先限定n>n。是允许的!但最后取N时要保证n>n 例3.证明2-1=0,这里|q|<1 证.若q=0,结果显然成立 1,令阳 p2|= 由于 (1+小由贝努利不等式412
所以 ε＞0，取 N= , 当 n＞N 时, 便有 注：或写作： ε＞0，取 N = ，当 n＞ N 时，有 ， ∴ 例 2. 证明 分析，要使 （为简化，限定 n ） 只要 证. , 当 , 有 由定义 适当予先限定 n＞n。是允许的！但最后取 N 时要保证 n＞n。 例 3．证明 =0， 这里 证.若 q=0, 结果显然成立 若 0＜ ＜1，令 = ＞0) 由于
所以,VE>0,取,当n>M 有 E Im o 注:1°特别地写当q=2时,此即为上述实例中的 N→ 2°贝努利不等式(1+)>1+h 例4证明m如a=1 ,其中a>1 先任取数a>1,用Mtlb计算出a的值,并将其画在坐标上。 y=3.(1./x);yl=1+3./x plot(x,y,’r.',x,yl,"b’) hold on plot([1,n],[1,1])axis([0,n,0,3]) legend('a^1/mn’,’1+a/n')
所以， ＞0，取 N= ，有 ＜ 注：1°特别地写当 q= 时，此即为上述实例中的 2°贝努利不等式 例 4 证明 ，其中 。 先任取数 ，用 Matlab 计算出 的值，并将其画在坐标上。 n=20; x=1:n; y=3.^(1./x); y1=1+3./x; plot(x,y,'r.',x,y1,'b') hold on plot([1,n],[1,1]) axis([0,n,0,3]); legend('a^1/n','1+a/n');
可以看出,随着的无限增大,a无限的接近1,且有 a0,存在N=」,当n>N时 a-1|<E 由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤 (1)化简 (2)适当放大 通常放大成14-a/54 的形式 M (3)解 求出需要的N A 数列极限的几何意义x→0 ,从几何意义上讲是,A的任意邻域外 至多有数列x)的N项,或者说
可以看出，随着 的无限增大， 无限的接近 1，且有 即 任 给 ，存在 N ＝ ， 当 n > N 时 , ， 所 以 . 由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤： (1)化简 (2)适当放大 ，通常放大成 的形式 (3)解 ， 求出需要的 数列极限的几何意义 ，从几何意义上讲是，A 的任意邻域外 至多有数列 的 N 项，或者说
A的任意邻域内都含有数列a)(除有限项以外)的所有项。 收敛的否定 lma.≠a 定义( 的“E-M”定义) lim ≠0 例8验证n 註:1.改变或去掉数列的有限项,不影响数列的收敛性和极限.重排不 改变数列敛散性 2.数列极限的等价定义 D1:VE>0,丑N,Wn≥M,→,-l≤ke,>0) 对 0M,→14
A 的任意邻域内都含有数列 （除有限项以外）的所有项。 收敛的否定: 定义 ( 的“ ”定义 ). 例 8 验证 註: 1. 改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不 改变数列敛散性: 2. 数列极限的等价定义: 对 对任正整数