§4高阶导数 高阶导数的概念: 加速度 a(t)=v(1)′=[s()] 高阶导数 J'(x0+△x)-f(x) 定义: f (xo)=lm Δ f"(x)=((x).f(x)=(r(x) 注意区分符号f(n)和((xn) 以函数f(x)2=3x+2+x2+2x+5x-7为例介绍高阶导数计算方 高阶导数的记法:函数/在x处的n阶导数记为 d"y (x),y(2)(x) d 相应的阶导数记为 几个特殊函数的高阶导数 多项式:多项式的高阶导数 例1Q()=-2x2)(Ex- 求g(0)和Q 9)(-0.235 正弦和余弦函数:计算 ( sin x)o*)(cos x)a)(sin kx)a)(cos kx) a) 的公式 3.d和Q的高阶导数: 4.x的高阶导数:
§ 4 高阶导数 高阶导数的概念： 加速度 高阶导数 定义: 注意区分符号 和 以函数 为例介绍高阶导数计算方 法. 高阶导数的记法: 函数 在 处的 阶导数记为 相应的 阶导数记为 二. 几个特殊函数的高阶导数: 1. 多项式: 多项式的高阶导数. 例 1 求 和 . 2. 正弦和余弦函数: 计算 、 、 、 的公式. 3． 和 的高阶导数： 4． 的高阶导数：
(x+a(x+b)的高阶导数 分段函数在分段点的高阶导数: 以函数 -x2,x<0 为例,求f"(x) 高阶导数的运算性质:设函数(x)和Yx)均n阶可导 则 (k(x)2)=kA)(x) (u(x)±(x)2)=4()(x)±y(x 乘积高阶导数的 Leibniz公式 uy)=m+Cm+C2u2v0+…+cuv+…+uy时 例设y=x3e 求 利用莱布尼兹公式,取4=e2,v=x2 (50) +50e.3x2+ 6x+ 注意:利用萊布尼兹公式时要注意与ν的选取次序,否则会使计算 复杂。 例2 =e cosx 求 解 c4=5,c3=C3=10 y=e(cos x-5sin x-10cos x+10sin x+5cos x-sin x)= 4e(sin x-cos x)
5． 的高阶导数： 6． 分段函数在分段点的高阶导数： 以函数 为例，求 . 三. 高阶导数的运算性质: 设函数 和 均 阶可导. 则 1． 2． 3． 乘积高阶导数的 Leibniz 公式： 例 设 求 利用萊布尼兹公式 ， 取 注意：利用萊布尼兹公式时要注意 与 的选取次序，否则会使计算 复杂。 例 2 求 解
例3 求 解 (x2)y=2 (sin x)(0)= sin x, (sin x)(9)=-cos x, (sin x) +80·2x(-cosx) =(x-6320)sin x-160xcosx 例4y=J( arctan),其中f(x)二阶可导.求a2 例5验证函数y=aCx满足微分方程 (1-x2) (2x+1)x +1 (n≥3 并依此求y"( y=1 0 两端求导 (1-x2)y =0. 对上式两端求阶导数,利用 Leibniz公式,有 2+1) (x) +1) n 可见函数y=Cmx满足所指方程
例 3 求 解 例 4 其中 二阶可导. 求 例 5 验证函数 满足微分方程 并依此求 解 两端求导 即 对上式两端求 阶导数, 利用 Leibniz 公式, 有 可见函数 满足所指方程
在上式中令x=0,得递推公式y02)=z2y0 注意到 和 就有 时 2+1时,y0(0)=(2k-12(2k-32…312f(0=(2k- 四.参数方程所确定函数的高阶导数 d(4)(v( p(t) g() v(t)q()-y(t)(t) (() 例6x=aC0,y=bamt求ax b b 习题课 可导条件 例 设在点x0=0的某邻域内有|f(x)上≤x2证明f(x)在点石=0 例2 设函数(x)在点和可导,f(x)=0,f(x)≠0 则J(x) 在点0不可导 例3设函数f(x)定义在区间(b)内,x∈(a,b)试证明:f(x)在点 可导的充要条件是存在(a,b)内 例4的函数()(仅依赖于f和x0).使(x)在点连续且适合条 件
在上式中令 得递推公式 注意到 和 , 就有 时, 时, 四. 参数方程所确定函数的高阶导数: 例 6 求 解 习 题 课 一. 可导条件: 例 1 设在点 的某邻域内有 证明 在点 可 导. 例 2 设函数 在点 可导, 则 在点 不可导. 例 3 设函数 定义在区间 内, 试证明: 在点 可导的充要条件是存在 内 例 4 的函数 （仅依赖于 和 . 使 在点 连续且适合条 件
f(x)-f(x0)=(x-x0)·(x),x∈(a,b) 并有 f(x0)=f(x0) 设 存在,定义 (x ≠x0 f(x J(xo), 易验证函数(x)在点0连续,f(x)-f(x)=(x-x0)(x,且 设f(x)-f(x0)=(x-x0)(x),又(x在点70连 续.则有 f'(o= lim 3(x)-f(xo2= lirm /"(x)=r"(o) x→3x-X f(xo)存在且(x0)=f(x0) 求导数或求切线 例4J(x)=x(x-1(x-2)…(x-25,求了()和f() 例 f(5)-f(√+2h 5 f(x)=arct k ,x≠0, f(0)=im0 〓二==
并有 证 设 存在, 定义 易验证函数 在点 连续, 且 设 又 在点 连 续. 则有 即 存在且 二. 求导数或求切线: 例 4 求 和 例 5 求 例 6 求 解
f"(x) ≠0 0 P ≠0 设 其中x为x的多项式.注意到对任何正整 0, 数 则有 所以 有 例7抛物线方程为y=2-3.求下列切线: 1)过点(2,1).(该点在抛物线 上 7=0 (2)过点(2,0).(该点不在抛物线上)(2x-y-4=0和 6x-y-12=0 曲线的吻接:曲线的吻接及其解析表达 2,x<0, X f(x)=1a, 0 例8设 bx+ 确定a、b和C的值,使函数f(x)在点x=0可 导 2,b=1
设 其中 为 的多项式. 注意到对任何正整 数 则有 所以，对 有 例 7 抛物线方程为 求下列切线: ⑴ 过点 ( 该点在抛物线 上 ) ( ) ⑵ 过点 .(该点不在抛物线上 ) ( 和 ) 一. 曲线的吻接: 曲线的吻接及其解析表达. 例 8 设 确定 、 和 的值，使函数 在点 可 导. )
四.奇、偶函数和周期函数的导函数: 例9可导奇函数的导函数是偶函数.(给出用定义证和用链导公式证两 种证法) 例10设J(x)是偶函数且在点x=0可导,则f(0)=0 f(-)-f(0) 1(0)=m,(x)-f(:-x%-t= =-mf)-0 f(0) 即J(0)=-/( 由f()存在 J0)=(0)=f(0),→(0)=-f"(0),→f(0)=0. 简提可导周期函数的导函数为周期函数,且周期不变 五.关于可导性的一些结果 1.若∫(x)是初等函数,则f(x)也是初等函数.在初等函数f(x)的定义 域内,导函数(x)不存在的点是函数(x)的不可导点.例如函数 f(x)=-x 定义域是R,但导函数 在点x=0没有定义,因此点x=0是函数 f(x)=x3的不可导点 存在仅在一点可导的函数.例如
四. 奇、偶函数和周期函数的导函数： 例 9 可导奇函数的导函数是偶函数. ( 给出用定义证和用链导公式证两 种证法) 例 10 设 是偶函数且在点 可导, 则 . 证 即 由 存在， 简提可导周期函数的导函数为周期函数, 且周期不变. 五. 关于可导性的一些结果: 1. 若 是初等函数, 则 也是初等函数. 在初等函数 的定义 域内, 导函数 不存在的点是函数 的不可导点. 例如函数 的 定义域是 , 但导函数 在点 没有定义, 因此点 是函数 的不可导点. 2. 存在仅在一点可导的函数. 例如
x2,x为无理数 f(x) x为有理数 该函数仅在点x=0可导 存在处处连续但处处不可导的函数.十九世纪后半叶,德国数 学家 Weierstrass大约在1875年首先给出了这样的一个函数,其后直到现在给 出更为简单的这类函数的例的工作一直在进行着.其中较简单的例可参阅F. Riesz(匈牙利人)著《泛函分析》volP3 5,或 Mark Lynch 《 a continuous nowhere differentiable function ) Amer. Math. Monthly, Vol 99, No 1,1992,P8-9 近年来,对这一问题给出了更一般的回答,即在某种意义下(在纲的意义 下),连续但不可导的函数要比连续且可导的函数多得多.可参阅丁传松著《实 分析导论》(科学出版社,1998.)P5-8
该函数仅在点 可导. 3. 存在处处连续但处处不可导的函数. 十九世纪后半叶, 德国数 学家 Weierstrass 大约在 1875 年首先给出了这样的一个函数, 其后直到现在给 出更为简单的这类函数的例的工作一直在进行着. 其中较简单的例可参阅 F. Riesz (匈牙利人) 著《泛函分析》Vol P3— 5, 或 Mark Lynch , 《A continuous ， nowhere differentiable function 》，Amer . Math . Monthly, Vol 99, № 1, 1992, P8—9. 近年来, 对这一问题给出了更一般的回答, 即在某种意义下( 在纲的意义 下), 连续但不可导的函数要比连续且可导的函数多得多. 可参阅丁传松著《实 分析导论》（科学出版社，1998.）P5—8
小结: 微分学所要解决的两类问题 函数的变化率问题 导数的概念 函数的增量问题 微分的概念 求导数与微分的方法叫做微分法 研究微分法与导数数理论及其应用用的稱学,咄做徵分学 导数与微分的联系:可导 可微 菜布尼兹(G.W. Leibniz1664.7.1-1716.11.4) 生于来比锡,父亲是大学教授,六岁时父亲去世,他以极大的求知欲阅读父 亲遗留下来的各种学科书籍。55岁入来比锡大学学法律,20岁获博士学位,以 法律和国际政治为职业,作法律顾问。1672年因外交事务到巴黎,接触了一些 数学家,激发了他对数学的兴趣,从此利用业余时间研究数学,他是靠自学成才 的。他在数学上最杰出的贡献就是与牛顿各自独立的创立了微积分,他巧妙的建 立了微积分的符号体系,这是一伟大功绩。他一方面从事政治、外交活动,一方 面进行科学研究,他涉足的面很广,如哲学、数学、物理、地质、生物、机械、 文学、神学、法律、历史等都有杰出贡献。被誉为德国的百科全书式天才
小结： 莱布尼兹（G.W.Leibniz 1664.7.1—1716.11.4） 生于来比锡，父亲是大学教授，六岁时父亲去世，他以极大的求知欲阅读父 亲遗留下来的各种学科书籍。55 岁入来比锡大学学法律，20 岁获博士学位，以 法律和国际政治为职业，作法律顾问。1672 年因外交事务到巴黎，接触了一些 数学家，激发了他对数学的兴趣，从此利用业余时间研究数学，他是靠自学成才 的。他在数学上最杰出的贡献就是与牛顿各自独立的创立了微积分，他巧妙的建 立了微积分的符号体系，这是一伟大功绩。他一方面从事政治、外交活动，一方 面进行科学研究，他涉足的面很广，如哲学、数学、物理、地质、生物、机械、 文学、神学、法律、历史等都有杰出贡献。被誉为德国的百科全书式天才