§5函数的凸性与拐点 一.凸性的定义及判定: 1.凸性的定义:由直观引入.强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义1设函数(x)在区间I上连续,若对x1,x2∈1和2∈(0,D恒 f(x1+(1-2)x2)≤(x1)+(1-A)f(x2) 则称曲线y=f(x)在区间I的凸函数,反之,如果总有 f(x1+(1-4)x2)≤(x1)+(1-A)f(x2) 则称曲线y=J(x)在区间I的凹函数 若在上式中,当≠x2时,有严格不等号成立,则称曲线y=(x)在 区间[a上是严格凸 (或严格凹)的 凸性的几何意义:倘有切线,考虑 与切线的位置关系 与弦的位置关系 曲线的弯曲方向 引理y=f(x)为区间I上的凸函数的充要条件是对1上任意三点 x1<z2<x3,总有 J(x2)-J(x1)f(x3)-f( Xe-x 证明:必要性 充分性
§ 5 函数的凸性与拐点 一． 凸性的定义及判定： 1． 凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义 1 设函数 在区间 I 上连续. 若对 I 和 恒 有 则称曲线 在区间 I 的凸函数, 反之, 如果总有 则称曲线 在区间 I 的凹函数. 若在上式中, 当 时, 有严格不等号成立, 则称曲线 在 区间 上是严格凸 (或严格凹)的. 凸性的几何意义: 倘有切线，考虑 与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向. 引理 为区间 I 上的凸函数的充要条件是:对 I 上任意三点: , 总有 证明: 必要性 充分性
定理6.13设函数f(x)在区间I上可导,则下面条件等价 (i)为I上凸函数 (ii)为I上的增函数 (ii)对I上的任意两点x1, 有 f(x2)≥f(x1)+f(x)(x2-x1) 证明 2.利用二阶导数判断曲线的凸向 定理6.14设函数f(x)在区间(ab)内存在二阶导数,则在(ab)内 fx)0,→f(x)在(a,b) 在 内严格下凸 证法一(用y1or公式)对,2(,2)段十互 2 f(x)在点0展开成具 lagrange 型余项的 Taylor公式,有 f(x1)=f(x0)+∫(x0)(x1-x0)+ f(x)=f(x)+y(x0(x2-而)+2(x2-而)2 其中51和5在与x2之间.注意到-有=-(x2-),就
定理 6.13 设函数 在区间 I 上可导, 则下面条件等价: (i) 为 I 上凸函数 (ii) 为 I 上的增函数 (iii) 对 I 上的任意两点 有 证明 2． 利用二阶导数判断曲线的凸向: 定理 6.14 设函数 在区间 内存在二阶导数, 则在 内 ⑴ 在 内严格上凸; ⑵ 在 内严格下凸. 证法一 ( 用 Taylor 公式 ) 对 设 , 把 在点 展开成具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式, 有 . 其中 和 在 与 之间. 注意到 , 就 有
f(x)+f(x2)=2f(x)+/"(5x-x)2+/"(点2)x2-x0)2 于是,若有 Jf"(x)2f(x0) 严格下凸 法二(利用 Lagrange中值定理.)若f"(x)>0,则有(x) 不妨设可0, (51)(x-x1)xf"(2)x2-x0) )-f(x1)2f(x)=2f 严格下凸 可类证"(x)<0的情况. 3.凸区间的分离:fx)的正、负值区间分别对应函数(x)的下凸和上凸 区间
, 于是, 若有 上式中 , 即 严格上凸. 若有 上式中 , 即 严格下凸. 证法二 ( 利用 Lagrange 中值定理. ) 若 则有 ↗ ↗. 不妨设 , 并设 , 分别在区间 和 上 应用 Lagrange 中值定理, 有 . 有 又由 ， < , ， 即 ， 严格下凸. 可类证 的情况. 3． 凸区间的分离: 的正、负值区间分别对应函数 的下凸和上凸 区间
曲线的拐点:拐点的定义 例1确定函数f(x)=x的上凸、下凸区间和拐点 [4]P154 E20 解了的定义域为(一,+0) f(x)=e-(1-2x2),f"(x)=2x(2x2-3)e f"(x)=0 解得 x1= 2 在区间 2,2 内 的符号 依次为 拐点为 3 ,(0,0) N2”2 倘若注意到本题中的(x)是奇函数,可使解答更为简捷 Jensen不等式及其应用 nsen不等式:设函数(x)为区间a,上的凸函数,则对任意 x2:∈[a,b] 1>0,i=1,…,∑= fCx)≤∑f(x) 有 Dense不等式
二. 曲线的拐点: 拐点的定义. 例 1 确定函数 的上凸、下凸区间和拐点. [4]P154 E20 解 的定义域为 . 令 , 解得 . 在区间 内 的符号 依次为 ， . 拐点为: 倘若注意到本题中的 是奇函数, 可使解答更为简捷. Jensen 不等式及其应用: Jensen 不等式: 设函数 为区间 上的凸函数, 则对任意 , , 有 Jensen 不等式:
且等号当且仅当x1=x2=三时成立 证明令 把(x)表为点x0处具二阶 Lagrange型余项 的7 aylor公式,仿前述定理的 ∑(x-x0)=0, 证明,注意k 即得所证 例1 证明:对yxy∈民有不多e°≤(2+e”) 例2证明均值不等式:对a1,a2…a∈R,有均值不等式 证先证不等式v2…a,5当十a+…+a 取f(x)=x.f(④)在(0,+∞)内严格上凸,由 Jensen不等式,有 n n ∑f(x)≤儿∑ a1+a2+…+a 1 由f(x), ≤ R+ 用上述已证结果,即得均值不等式的左半端 例3证明:对x1,,…∈且,有不等式
且等号当且仅当 时成立. 证明 令 , 把 表为点 处具二阶 Lagrange 型余项 的 Taylor 公式，仿前述定理的 证明，注意 即得所证. 例 1 证明: 对 有不等式 . 例 2 证明均值不等式: 对 , 有均值不等式 . 证 先证不等式 . 取 . 在 内严格上凸, 由 Jensen 不等式, 有 . 由 ↗↗ . 对 用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端. 例 3 证明: 对 , 有不等式
x2+ (平方根平均值) 例4设x+y+z=6,证明x+y+z212 解取(x)=x2,应用,nsn不等式 ense不等式在初等数学中的应用举例:参阅荆昌汉文:“凸(凹) 函数定理在 不等式证明中的应用”,《数学通讯》1980.4.P39 例6在△ABC中,求证A+amB+C-3 解考虑函数 f(x)=snx,0≤x≤丌."=-sinx<0,0<x丌 区间(0,x)内凹,由 Jensen不等式,有 sinA +sinB sinC/(A)+/(B)+f(2s/(4+B+c=sin T= 3 例7已知a,b,C∈R,a+b+C=1.求证 7+3+7≤6 解考虑函数(x)=Vx,(x)在(0,+) 内严格上凸.由 Jensen不 等式,有
. ( 平方根平均值 ) 例 4 设 ，证明 . 解 取 , 应用 Jensen 不等式. Jensen 不等式在初等数学中的应用举例: 参阅 荆昌汉 文: “凸(凹) 函数定理在 不等式证明中的应用”,《数学通讯》1980.4. P39. 例 6 在⊿ 中, 求证 . 解 考虑函数 在 区间 内凹, 由 Jensen 不等式, 有 . . 例 7 已知 . 求证 . 解 考虑函数 , 在 内严格上凸. 由 Jensen 不 等式, 有
+7+3+7+33+7f(3a+)+f(+7)+f(x+7 sx(3a+7+3+7+3+7 =f(a+b+c+7)=f(8)=3=2 a+7+3+7+√3+7≤6 例8已知a>0,>0,a3+3≤2.求证a+A≤2.(留 为作业) (解函数f()=x在(0,+)内严格下凸.由 Jensen不等式,有 )=+2)=+=+2 (a+6)≤8 +B≤2
. . 例 8 已知 求证 . ( 留 为作业 ) 解 函数 在 内严格下凸. 由 Jensen 不等式, 有