§4定积分在的物理的某些应用 学习目标:能够运用定积分解决物理问题 学习要点:引力,变力沿直线所做的功 学习基础:微元法,分部积分法,换元法 定积分在物理中有广泛的应用,本节主要利用上一节所介 绍的“微元法”把物理学上的一些问题转化为计算定积分的问题。 这里介绍几个有代表性的例子 1变力沿直线所作的功问题 从物理学知道,如果物体在做直线运动的过程中受到常力F 作用,并且力F的方向与物体运动的方向一致,那么,当物体
1 §4 定积分在的物理的某些应用 学习目标：能够运用定积分解决物理问题 学习要点：引力，变力沿直线所做的功 学习基础：微元法，分部积分法，换元法 定积分在物理中有广泛的应用，本节主要利用上一节所介 绍的“微元法”把物理学上的一些问题转化为计算定积分的问题。 这里介绍几个有代表性的例子。 1 变力沿直线所作的功问题 从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力F 作用，并且力F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体
移动了距离S时,力F对物体所作的功是W=F.&,如果 物体在运动过程中所受到的力是变化的,那么就遇到变力对 物体作功的问题,下面通过例1说明如何计算变力所作的功。 例1把一个带电量为+q的点电荷放在r轴的原点O处,它产生一个电场 并对周围的电荷产生作用力,由物理学知道,如果有一个单位正电荷 放在这个电场中距离原点O为r的地方,那么电场对它的作用力的大小为 F=k(k是常数),如图,当这个单位正电荷在电场中从r=a处沿 r轴移到r=b(a<b)处时,计算电场力对它所做的功 +q o a rr+dr b
2 移动了距离s时,力F 对物体所作的功是 ， 如果 物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对 物体作功的问题，下面通过例1说明如何计算变力所作的功。 轴移到 处时，计算电场力对它所做的功。 是常数），如图，当这个单位正电荷在电场中从 处沿 放在这个电场中距离原点 为 的地方，那么电场对它的作用力的大小为 ，并对周围的电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷 例 把一个带电量为 的点电荷放在 轴的原点 处，它产生一个电场 ( ) ( 1 2 r r b a b k r a r q F k o r q r o = = = +
解:在上述移动过程中,电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的 ,取r为积分变量,它的变化区间为[a,b],在a,b上任取一小区间为 [r,r+△v],当单位正电荷从r移到r+r时,电场力对它所做的功 △W≈△,理论上可证明W如 Ar=o(Ar),因此做功微元为 dW=,于是所求的功为W=(m=(
3 2 2 2 2 [ , ] , [ , ] [ , ], , ( ), 1 1 1 , ( ) . b b b a a a r a b a b r r r r r r kq kq W r W r o r r r kq kq dW dr W dW dr kq kq r r r a b + + − = = = = = − = − 解：在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的 ，取 为积分变量，它的变化区间为 在 上任取一小区间为 当单位正电荷从 移到 时，电场力对它所做的功 理论上可证明 因此做功微元为： 于是所求的功为
2液体静压力问题 例2某水库的闸门形状为等腰梯形,它的两条底边各长为10m与6m, 高为20m,较长的底边与水面对齐,计算闸门的一侧所受的水压力。 解:如图所示,以闸门的长底边的中点为 原点且铅直向下作x轴,取x轴为积分变量, 10m 它的变化范围为[0,20],在[0,20]上任取一小 区间[x,x+Ax闸门上相应于该小区间的窄 条各点所受到水的压强近似于xg(N/m2) 4dx 20m 这窄条的长度近似为10--,高为Ax,因 x 6 m 而这一窄条的一侧所受的水压力近似为: AF≈x810-Ax,可以证明△F=xg(104x=0(△)因此
4 ( ) 2 2 2 10 6 , 20 , [0, 20], [0, 20] [ , ], / , 5 10 , m m m x x x x x xg kN m x x + − 液体静压力问题 例 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长为 与 高为 较长的底边与水面对齐，计算闸门的一侧所受的水压力。 解：如图所示，以闸门的长底边的中点为 原点且铅直向下作 轴，取 轴为积分变量， 它的变化范围为 在 上任取一小 区间 闸门上相应于该小区间的窄 条各点所受到水的压强近似于 这窄条的长度近似为 高为 ，因 ( ) 5 5 F xg x F xg x o x 10 , 10 , x x − − − = 而这一窄条的一侧所受的水压力近似为： 可以证明 因此：
压力微元F=xg|10--a,于是所求的压力为: F=|dF=x10-/1a=8/200800 ≈14373(kN) 3引力问题 例3设有一根长度为,线密度为的均匀直棒,在其中垂线上距棒 a单位处有一质量为m的质点。试计算该棒对质点M的引力。 解取坐标系如图所示,使棒位于y轴上, 质点M位于x轴上棒的中点为原点O取yy+d 为积分变量,它的变化区间为11 在 上任取一小区邮yy+4y] 2 冈國心
5 20 20 0 0 5 10 , 5 800 10 2000 14373 ( ). 3 3 3 , , , dF xg dx x F dF xg dx g kN x l a m M y M x o y = − = = − = − 压力微元 于是所求的压力为： 引力问题 例 设有一根长度为 线密度为 的均匀直棒，在其中垂线上距棒 单位处有一质量为 的质点。试计算该棒对质点 的引力。 解 取坐标系如图所示，使棒位于 轴上， 质点 位于 轴上 棒的中点为原点 取 为积分变量，它的变化区间 2 2 [ , ], 2 2 l l l l y y y − − + 为 ， 。 在 ， 上任取一小区间
把细直棒上相应于[y,y+y]的一段近似地看成质点,其质量为p△y 与M相距r=Va2+y2,因此,可以按照两质点间的引力计算公式求出这 段细直棒对质点M的引力AF≈km4,从而求出AF在水平方向分力 a △F的近似值,即AF≈-k amD△y ,且可证明AF--k cmp△y t y + y o(y),于是,细棒对质点M的引力在水平方向分力F的微元为 dF=k- amp Gxd,于是得到引力在水平方向的分力为
6 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 [ , ] , , , , , x x x x x y y y y M r a y m y M F k F a y am y am y F F k F k a y a y o y M F dF + = + + − − − + + = 把细直棒上相应于 的一段近似地看成质点，其质量为 与 相距 因此，可以按照两质点间的引力计算公式求出这 段细直棒对质点 的引力 从而求出 在水平方向分力 的近似值，即 且可证明 于是，细棒对质点 的引力在水平方向分力 的微元为： ( ) 3 2 2 2 , am k dy a y = − + 于是得到引力在水平方向的分力为：
amp 2kmpl F= dF=-lk ,其中负号表示F指向x 4a-+ 2 轴的负向又由对称性可知,引力在铅直方向分力F=0
7 ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 , 4 . 0. l l x x x l l y am km l F dF k dy F x a l a y F − − = = − = + + = 其中负号表示 指向 轴的负向 又由对称性可知，引力在铅直方向分力