第5章相似矩阵 本章主要介绍方阵的特征值与特征向量、相 似矩阵、向量的内积和正交化方法、对称矩阵的 相似矩阵。通过本章的学习,读者应该掌握以下 内容: 方阵的特征值与特征向量的定义及计算 相似矩阵的定义与性质 方阵的相似对角化 向量的内积、长度 正交和正交向量组与正交矩阵的概念 施密特正交化方法 用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法
第5章 相似矩阵 本章主要介绍方阵的特征值与特征向量、相 似矩阵、向量的内积和正交化方法、对称矩阵的 相似矩阵。通过本章的学习，读者应该掌握以下 内容： 方阵的特征值与特征向量的定义及计算 相似矩阵的定义与性质 方阵的相似对角化 向量的内积、长度 正交和正交向量组与正交矩阵的概念 施密特正交化方法 用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法
5.1方阵的特征值与特征向量 51.1方阵的特征值与特征向量 定义1设4=(a)是一个n阶方阵如果存在数及 n维非零列向量x=3使得Ax=Ax,那么这样的数 九称为方阵A的特征值,非零列向量x称为方阵A 的对应于(或属于)λ特征值的特征向量
的特征值，非零列向量 称为方阵 5.1 方阵的特征值与特征向量 5.1.1 方阵的特征值与特征向量 定义1 设 ( ) A a = i j 是一个 n 阶方阵,如果存在数 及 n 维非零列向量 1 2 n x x x = x 使得 Ax x = ,那么,这样的数 称为方阵 A A 的对应于(或属于) 特征值的特征向量． x
是方阵A的特征值,x是对应的特征向量 Ax=nx b>(A-E)x=0 此为n个未知数n个方程的齐次线性方程组) 元是方阵A的特征值→A-AE=0分 =0(右式称为4的特征多项式记 为f()(4)=0称为特征方程) x是对应于几的特征向量<>x是齐次线性方程组 (A-E)x=0的非零解
是方阵 A 的特征值, x 是对应的特征向量 Ax x = ( ) A E − = x 0 A E − = 0 (此为 n 个未知数 n 个方程的齐次线性方程组) 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a a a a − − = − 是方阵 A 的特征值 x 是对应于 的特征向量 x 是齐次线性方程组 ( ) A E − = x 0 的非零解 (右式称为 的特征多项式,记 为 , 称为特征方程) A f ( ) f ( ) 0 =
求方阵的特征值与特征向量的步骤 n计算A的特征多项式f(x)=4-4E ■求出特征方程的所有根(重根按重数计 算):4 对每个特征值λ,求出相应的齐次线性方 程组(4-E)x=0的一个基础解系 6on-r (设R(4-2B)=”) 则c5+c22+…+Cn,En(G12,…,Cn不全为零)与 为对应于入的全部特征向量
(设 ) 求方阵的特征值与特征向量的步骤 计算 的特征多项式 求出特征方程的所有根（重根按重数计 算）： 对每个特征值 ,求出相应的齐次线性方 程组 的一个基础解系 A f A E ( ) = − 1 2 , , , n i ( ) A E − = i x 0 1 2 , , , n r − ( ) R A E r − = i 1 1 2 2 1 2 ( , , , n r n r n r c c c c c c + + + − − − 为对应于 的全部特征向量. i 则 不全为零)
2 例1求矩阵A 的特征值与特征向量 解|A-2E (2-1)2-1=2-4+3=(-1)(-3) 2- 所以A的特征值为41=1,2=3 对于特征值41=1,解方程(4-E)x=0由4E 00 得同解方程组 通解为 xI (c1∈R) x 基础解系为5(所以对应于4=1的全部特征向量为 c5(c1≠0)
例1 求矩阵 2 1 1 2 A − = − 的特征值与特征向量 解 2 2 2 1 (2 ) 1 4 3 ( 1)( 3) 1 2 A E − − − = − − = − + = − − − − = 所以 A 的特征值为 1 2 = = 1, 3 对于特征值 1 =1, 解方程 ( ) A E− = x 0 ,由 1 1 1 1 1 1 0 0 A E − − − = → − 得同解方程组 1 2 2 2 x x x x = = 1 1 1 2 1 ( ) 1 x c c R x = 通解为 一基础解系为 1 1 1 = ． 所以对应于 1 =1 的全部特征向量为 1 1 1 c c ( 0) ．
对于特征值λ2=3,解方程(4-3E)x=0,由 A-3E= 得同解方程组 x 通解为 C2∈ X 基础解系为与2= 所以对应于A1=1的全部特征向量为 C,≠ 292(-2
对于特征值 2 = 3, 解方程 ( 3 ) A E − = x 0 ,由 得同解方程组 1 2 2 2 x x x x = − = 1 2 2 2 1 ( ) 1 x c c R x − = 通解为 一基础解系为 2 1 1 − = 所以对应于 1 =1 的全部特征向量为 2 2 2 c c ( 0) 1 1 1 1 3 1 1 0 0 A E − − − = → − −
例3求矩阵4-1430的特征值与特征向量 1-21 1-元1 解|-E= 3- 00= (2-2) 43=(2-M1-x) 02 所以A有2重特征值4=2=1,有单特征值4=2 对于特征值λ1=2=1,解方程(4-E)x=0由 210 X A-E=-420→012得同解方程组1x2=-2x3 000 X=X 故得通解|x=c-2(G∈R)所以对应于特征值==1 的全部特征向量为c5=c(12-2)(≠0)
例3 求矩阵 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A − = − 的特征值与特征向量． 解 2 1 1 0 1 1 4 3 0 (2 ) (2 )(1 ) 4 3 1 0 2 A E − − − − − = − − = − = − − − − − 所以 A 有2重特征值 1 2 = =1 ，有单特征值 3 = 2 对于特征值 1 2 = =1 ，解方程 ( ) A E− = x 0 2 1 0 1 0 1 4 2 0 0 1 2 1 0 1 0 0 0 A E − − = − → ， 得同解方程组 1 3 2 3 3 3 2 x x x x x x = − = − = 故得通解 1 2 1 1 3 1 2 ( ) 1 x x c c R x − = − 所以对应于特征值 1 2 = =1 的全部特征向量为 ( ) T 1 1 1 1 c c c = − 1 2 2 ( 0) 由
对于特征值 解方程(4-2BX=图 310 100 A-2E=410→010 000 x1 x1 得同解方程组{x2=0故得通解x2|=c0(a∈R) x3 对应于特征值3=2的全部特征向量为 0 2=0(c2≠0)
对于特征值 3 = 2 ，解方程 ( 2 ) A E − = x 0 . 由 3 1 0 1 0 0 2 4 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 A E − − = − → 得同解方程组 1 2 3 3 0 0 x x x x = = = 故得通解 1 2 2 2 3 0 0 ( ) 1 x x c c R x = 对应于特征值 的全部特征向量为 2 2 2 0 0 ( 0) 1 c c =
51.2特征值的性质 性质1若阶方阵A=(an)的全部特征值为42 (k重特征值算作k个特征值)则: (1)+2+…+n=a1+a2+…+am (2)2…=|4 性质2设九是可逆方阵A的一个特征值,x为对应的特征 向量,且2≠0则是A1的一个特征值,x为对应 特征向量;
重特征值算作 阶方阵 是可逆方阵 5.1.2 特征值的性质 性质1 若 n ( ) A a = i j 的全部特征值为 1 2 , , , n （ k k 个特征值）则： 1 2 11 22 (1) , n nn + + + = + + + a a a 1 2 (2) ; n = A 性质2 设 A 的一个特征值， x 为对应的特征 0 1 是 1 A − 向量, 且 则 的一个特征值， x 为对应 特征向量;
性质3设元是方阵A的一个特征值,x为对应的特征 向量,n是一个正整数,则观”是的一个特征值, x为对应特征向量; 性质4设九是方阵A的一个特征值,x为对应的特征 向量,若p(4)=anE+a1A+…+anA 则0()=a+a+…+a,是q(4)的一个特征值, x为对应特征向量;
性质3 设 是方阵 A 的一个特征值， x 为对应的特征 n 是 n A 的一个特征值， x 为对应特征向量; 向量, n 是一个正整数, 则 性质4 设 是方阵 A 的一个特征值， x 为对应的特征 ( ) 0 1 是 n n = + + + a a a 的一个特征值， x 为对应特征向量; 向量, 若 则 0 1 ( ) n A a E a A a A = + + + n ( ) A