北京工业大学：《概率论与数理统计 Probability and Statistics》课程电子教案（PPT教学课件）第二十三讲 第八章 假设检验 第三节 正态总体方差的检验

第八章第三节 正态总体方差的检验

第八章第三节 正态总体方差的检验

单个正态总体方差的x检验 设X1,X2…,Xn为来自总体N(u,2)的样 本,μ,未知 求:对以下假设的显著性水平=c的假设检验 (I)H:2=2<+H1:2≠02 思路分析:利用样本方差 (x下是G的一个无偏估 计 回回

利用样本方差 一、单个正态总体方差的χ 2检验 设X1,X2, ,Xn为来自总体N(, 2)的样 本, , 2未知. 求:对以下假设的显著性水平=的假设检验. 思路分析: 2 1 2 ( ) 1 1 X X n S n i  i − − = = 是 2的一个无偏估 计. (I) H0:2 = 0 2 → H1: 2 ≠ 0 2

当原假设H:02=002成立时,S和2应 该比较接近,即比值S2/应比较接近于1 这个比值过大或过小应拒绝原假设 把S2/o乘以常数n-1 合理的思路是找出两个界限c1和c2, 当c1<n-1)s2/o2<c2时,就接受H 当(n-1)s2/(a2≤c1或(n-1)s2/(02≥c2时 ,就拒绝 下面确定常数c1与c2 根据定理6.4.1 回回

∴当原假设H0: 2 = 0 2成立时,S2和0 2应 该比较接近,即比值S 2/0 2应比较接近于1. ∴这个比值过大或过小应拒绝原假设. 把S 2/0 2乘以常数n-1 合理的思路是找出两个界限c1和c2 , 当c1<(n-1)S2/0 2<c2时,就接受H0 . 当(n-1)S2/0 2≤c1 或(n-1)S2/0 2≥c2时 ,就拒绝H0 . 下面确定常数c1与c2 . 根据定理6.4.1 2 1 2 2 ( 1) / n − S  ～ n−

于是,当原假设H6:σ2=σ2成立时,有: (n-1)S2/G2~x1指并集 H6:σ=σ2成立时,有 (n-1)S2/2 E(n 拒绝域为 (n-1)S at(n-1)S < 以上检验法叫x检验法 回回

于是,当原假设 H0:  2 = 0 2成立时,有: 2 1 2 0 2 ( 1) / n − S  ～ n−       =                    − − − − ) 2 , 2 ( 1 ( 1) 2 1 2 2 1 0 2 n n n S P 以上检验法叫χ 2检验法. ∴H0: 2 = 0 2成立时,有:        −        − −  − − 2 ( 1) 2 1 ( 1) 2 2 1 0 2 2 2 1 0 2       n n n S n S 或 拒绝域为 指并集

(II)H:a2=02<H1:2〉σ2 同理,H0:σ2=σ02成立时,有 (n-1)S2/c6~xn P (n-1)S2 △2 2 (a}=a 0 拒绝域为m=13≥x21(a) 0 此检验法也叫x检验法回回

(II) H0:2 = 0 2 → H1: 2 > 0 2 同理,H0:  2 = 0 2成立时,有: 2 1 2 0 2 ( 1) / n − S  ～ n−  ()   =        −  − 2 2 1 0 2 ( 1) n n S P 此检验法也叫χ 2检验法.  ()  2 2 1 0 2 ( 1)  − −  n n S 拒绝域为

(I)H0:2≤σ2÷H1:2>02 同(II) 应用 相对于正态总体均值的检验,方差检 验的重要性要逊色得多,但也有一些应用 例如,机器加工出的产品的尺寸服从正 态分布.这个正态分布的方差a2刻画了生产 过程的稳定性.∝越大,表示整个生产过程 综合误差越大 因此,我们需要知道o2是否超过了一个 预定界限 回回

相对于正态总体均值的检验,方差检 验的重要性要逊色得多,但也有一些应用. 例如,机器加工出的产品的尺寸服从正 态分布.这个正态分布的方差 2刻画了生产 过程的稳定性.  2越大,表示整个生产过程 综合误差越大. 因此,我们需要知道 2是否超过了一个 预定界限. (II)’ H0:2 ≤ 0 2 → H1: 2 > 0 2 同 (II) 应用

例1某公司生产的发动机部件的直径 X N 该公司称它的标准差σ=0.048cm 现随机抽取5个部件,测得它们的直径为 1.32,1.55,1.36,1.40,1.44.取a=0.05 问:(1)我们能否认为该公司生产的发动机 部件的直径的标准差确实为=? (2)我们能否认为σ2≤2 解:(1)问题就是 Hn:G2=n2<→H1:G2≠a2 n=5=0.05G2=0.0482 回回

某公司生产的发动机部件的直径 X ～ N( ,  2). 该公司称它的标准差0=0.048cm. 现随机抽取5个部件,测得它们的直径为 1.32,1.55,1.36,1.40,1.44.取=0.05. 问:(1)我们能否认为该公司生产的发动机 部件的直径的标准差确实为= 0? (2)我们能否认为 2 ≤ 0 2? (1) 问题就是 H0: 2 = 0 2 → H1:  2 ≠ 0 2 n=5 =0.05 0 2=0.0482 解: 例1

查P234附表4,得 0.05 2=x4(0.975)=0484 20.05 (025)=11.143 2 2 算得 (n-1)2(5-1)×0.00778 0 0.048 =13.51>11.143 我们应该拒绝H,即认为发动机部件的直 径标准差不是0.048cm 回回

∴我们应该拒绝H0 ,即认为发动机部件的直 径标准差不是0.048cm. 13.51 11.143 0.048 ( 1) (5 1) 0.00778 2 2 0 2 =  −  = −  n S 算得 ( ) (0.025) 11.143 2 0.05 2 0.975 0.484 2 0.05 1 2 1 234 4, 2 4 2 4 2 1 2 4 2 4 2 1  = =       =       = =       = −      − − −         n n 查P 附表 得

(2)问题就是 H:a2≤2∈→H1:σ2> 查P234表4,得 xn()=205=x2(0052=948 (n-1)S =13.51>9488 我们应该拒绝H,即认为发动机原部件 的直径标准差超过了0.048 回回

∴我们应该拒绝H0,即认为发动机原部件 的直径标准差超过了0.048. (2) 问题就是 H0: 2 ≤ 0 2 → H1:  2 > 0 2 ( ) (0.05) (0.05) 9.488 234 4, 2 4 2 4 2  n−1  =  =  = 查P 附表 得 13.51 9.488 ( 1) 2 0 2 =  −  n S 而

两个正态总体方差比的F检验 设X1,X2,…,Xm.Y1,Y2,…,Yn分别为来 自正态总体N(u1,2)和N(μ22)的样本.考虑检 验假设 2<→H1 ≠ 这个检验主要用于上节实施两样本检验前, 关于σ12=σ2假设是否合理 思路分析 两总体N(μu,12)和N(p2,2)的样本方差S和 2是方差2和G2的无偏估计 直观上,S12/S2是σ12/2的一个估计 回回风

这个检验主要用于上节实施两样本t检验前, 关于1 2 = 2 2假设是否合理. ∵两总体N(1,1 2)和N(2,2 2)的样本方差S1 2和 S2 2是方差1 2和2 2的无偏估计. ∴直观上,S1 2/S2 2是1 2/2 2的一个估计. 二、两个正态总体方差比的F检验 设X1,X2 , ,Xm . Y1,Y2 , ,Yn分别为来 自正态总体N(1,1 2)和N(2,2 2)的样本.考虑检 验假设: (I) H0: 1 2 = 2 2 → H1: 1 2 ≠2 2 思路分析: