第四章第一节 数学期望
第四章第一节 数学期望
在前面的课程中,我们讨论了随机变量及 其分布,如果知道了随机变量X的概率分布, 那么X的全部概率特征也就知道了 然而,在实际问题中,概率分布一般是较 难确定的.而在一些实际应用中,人们并不需 要知道随机变量的一切概率性质,只要知道它 的某些数字特征就够了 因此,在对随机变量的研究中,确定某些 数字特征是重要的.其中最常用的是 期望和方差 回回
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及 其分布，如果知道了随机变量X的概率分布， 那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较 难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需 要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它 的某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些 数字特征是重要的. 其中最常用的是 期望和方差
离散型随机变量的数学期望 概念的引入: 某车间对工人的生产情况 进行考察.车工小张每天生产 的废品数X是一个随机变量如 何定义X的平均值呢? 某电话交换台每天8:00-9:00收到的呼叫数 X是一个随机变量.如何定义X的平均值即该 交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢? 我们来看第一个问题 回回
一、离散型随机变量的数学期望 概念的引入： 某车间对工人的生产情况 进行考察. 车工小张每天生产 的废品数X是一个随机变量. 如 何定义X的平均值呢？ 某电话交换台每天8:00-9:00收到的呼叫数 X是一个随机变量. 如何定义X的平均值即该 交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢？ 我们来看第一个问题
例1某车间对工人的生产情况进行考察.车工 小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如 何定义X的平均值呢? 32天没有出废品; 若统计100天, 30天每天出一件废品; 可以得到这100天中17天每天出两件废品 每天的平均废品数为 21天每天出三件废品; 32 30 17 21 +1 +2 +3 =1.27 100100100100 这个数能否作为 X的平均值呢? 回回
若统计100天, 例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工 小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如 何定义X的平均值呢？ 32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品; 1.27 100 21 3 100 17 2 100 30 1 100 32 0 + + + = 可以得到这100天中 每天的平均废品数为 这个数能否作为 X的平均值呢？
可以想象,若另外统计100天,车工小张不 出废品,出一件、二件、三件废品的天数与 前面的100天一般不会完全相同,这另外100 天每天的平均废品数也不一定是127 般来说,若统计n天 n天没有出废品; (假定小张每天至多出 n1天每天出一件废品; 件废品) n2天每天出两件废品 n3天每天出三件废品 可以得到n天中每天的平均废品数为 0.-0+ n1 1.+2.+3.43 回回
可以想象，若另外统计100天，车工小张不 出废品，出一件、二件、三件废品的天数与 前面的100天一般不会完全相同，这另外100 天每天的平均废品数也不一定是1.27. n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品. n n n n n n n n0 1 2 3 0 +1 + 2 + 3 可以得到n天中每天的平均废品数为 (假定小张每天至多出 三件废品) 一般来说,若统计n天
0.-0+1 2.么 +3 这是 以频率为权的加权平均 由频率和概率的关系 不难想到,在求废品数X 的平均值时,用概率代替 这是 频率,得平均值为 以概率为权的加权平均 0·B+1+2B2+3. 这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为 随机变量X的平均值 回回
这是 n 以频率为权的加权平均 n n n n n n n0 1 2 3 0 +1 + 2 + 3 由频率和概率的关系 不难想到，在求废品数X 的平均值时，用概率代替 频率，得平均值为 0 p0 1 p1 2 p2 3 p3 + + + 这是 以概率为权的加权平均 这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为 随机变量X的平均值
定义1设X是离散型随机变量,它的概率分布 是:P{X=Xk}=pk,k=1,2 如果∑|xk|Pk有限定义X的数学期望 k=1 E(X)=∑xP 也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝 对收敛的级数的和 回回
定义1 设X是离散型随机变量，它的概率分布 是: P{X=Xk }=pk , k=1,2,… 也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝 对收敛的级数的和. = = 1 ( ) k k k E X x p =1 | | k k k 如果 x p 有限,定义X的数学期望
要了解数学期望的统计意义, 请看演示 数学期望的统计意义 回回
数学期望的统计意义 请看演示 要了解数学期望的统计意义
例2有4只盒子,编号为1,2,34现有3个球 将球逐个独立地随机放入4只盒子中去.用X表 示其中至少有一个球的盒子的最小号码.求 E(X) 解X所有可能取值是1,2,3,4 X=}表示1号盒中至少有1个球,它的对立事件 表示:一号盒中没有球,其概率为3 P{X=1}=1 43-3 4 4 (X=2}:1号盒中没有球,2号盒中至少有1个球 P{X=2} 4 回回
例2 有4只盒子,编号为1,2,3,4.现有3个球, 将球逐个独立地随机放入4只盒子中去.用X表 示其中至少有一个球的盒子的最小号码. 求 E(X). 解 X所有可能取值是1,2,3,4. P{X=1}=1- {X=1}表示1号盒中至少有1个球，它的对立事件 表示：一号盒中没有球，其概率为 3 3 4 3 3 3 4 3 {X=2}：1号盒中没有球，2号盒中至少有1个球 = 3 3 3 4 4 − 3 P{X=2}= 3 3 3 4 3 − 2
同样有 PX=3/=2- 最后 P{X=4}=1-P{X=1}-P{X=2}-P{X=3 于是E(X=25/16 回回
同样有 P{X=3}= 3 3 3 4 2 −1 最后 P{X=4}=1-P{X=1}-P{X=2}-P{X=3} = 3 4 1 于是 E(X)=25/16