《高等数学》知识点例题讲解：定积分的概念

第五次 P141习题3、2、29、30 cosX I 3x+ 3cosx x+sinx + sinx +3sin InIx'+sinx+C 3si 解:jx2(+hxx=」ed(mx) 习题4,(11) siNx 解: cOS CoSx = tannIns inx-「 tanx - d 3、P109,例3.5,习题3,选择题 4、∫SnXx e-an dx=tanxe -dtanx CoS X tanxi an dtanx tanx 5、设1(x(=asmx+C,则∫=-1V0-x)y+C

1 第五次 P141.习题 3、2、29、30 1、   + + = + + dx x 3sinx 3x 3cosx 3 1 dx x 3sinx x cosx 3 2 3 2 ( )  = + + + + = ln x 3sinx C 3 1 x 3sinx d x 3sin x 3 1 3 3 3 解： ( ) ( )  + =  x 1 lnx dx e d xlnx x xlnx e C x C xlnx x = + = + 2、习题 4，(11) 解：  =  dx lnsinxdtanx cos x lnsinx 2 = −  dx sinx cosx tanxlnsinx tanx = tanxlnsinx − x + C 3、P109，例 3.5，习题 3，选择题 4、   − − e dx = tanxe dtanx cos x sinx tanx tanx 3  − = − tanx tanxde  − − = −tanxe + e dtanx tanx tanx tanxe e C tanx tanx = − − + − − 5、设  xf(x)dx = arcsin x + C ，则 ( ) ( )  = − 1− x + C 3 1 f x dx 3 2

39有理函数积分∫R(xx 真分式→部分分式 部分分式:1 Mx+N Mx+N ax +b(ax+b t px+ t px+ q 其中 X+1 X-12 X+1 x+1 解: x2-x-12(x-4)x+3 4x+3 A(x+3)+B(x-4 (x-4)x+3) A(x+3)+B(x-4)=x+1 令ⅹ=4A 5-7 令 X+1 Idx x2+3x+57 X InIx+3+C

2 3 0 有理函数积分 ( ) R x dx →真分式→部分分式 部分分式： ( ) ( ) n 2 n 2 x px q Mx N , x px q Mx N , ax b 1 , ax b 1 + + + + + + + + 其中： p 4q 0 2 −  5、  − − + dx x x 12 x 1 2 解： (x 4)(x 3) x 1 x x 12 x 1 2 − + + = − − + x 3 B x 4 A + + − = ( ) ( ) (x 4)(x 3) A x 3 B x 4 − + + + − = A(x + 3) + B(x − 4) = x +1 令 , 7 5 x = 4 A = 令 7 2 x = −3 B = ∴         + + − = + + + dx x 3 2 x 4 5 7 1 dx x 3x 5 x 1 2 ln x 3 C 7 2 ln x 4 7 5 = − + + +

6、P112例3.6(4),(5)7P142习题6(3),(4) X+2 arctan c 4x+82 2x+4-2 +4x+82x2+4x+8 +4+8 d(x+2) +4x+8(x+2)+2 X+2 In x+4x+ c 4三角有理式积分R( sinx,cosx知x 2t 令tan= t cOSX= dx=2dt 1+t2 1+t 2+sinx 2+ +t 1+t dt t+ arctan C 2 tan -+1 arctan +C

3 6、P112例 3.6 (4),(5) 7 P142 习题 6 (3),(4) c 2 x 2 arctan 2 1 dx x 4x 8 1 2 + + = + +    + + + − = + + x 4x 8 2x 4 2 2 1 dx x 4x 8 1 2 2 ( ) ( ) d(x 2) x 2 2 1 x 4x 8 d x 4 8 2 1 2 2 2 2 + + + − + + + + =   c 2 x 2 arctan 2 1 ln x 4x 8 2 1 2 + + = + + − 4 0 三角有理式积分 ( ) R sinx, cosx dx 令 2 2 2 1 t 2t sinx 1 t 1 t t cosx 2 x tan + = + − = = 2 1 t 2dt dx + = 8、  + dx 2 sinx 1  +  + + = dt 1 t 2 1 t 2t 2 1 2 2  + + = dt t t 1 1 2        +          +      + = 2 1 d t 2 3 2 1 t 1 2 2 C 2 3 2 1 t arctan 3 2 + + = C 3 1 2 x 2tan arctan 3 2 + + =

sec x 9 3+cosx J3sec'x+1 d√3tanx Btanx +4 arctan +c 3tanx arctan 6、设f(x)的原函数F(x)恒正,且FO)=1,当x≥0,有 f(x)(x)=si2x,求f(x) 解:F(x)=f(x) F(xF(x)=sin2'x ∫F(x)F(xx=sm2xdx 「F(x知dF(x)=(-cos4x F(x=x--sin4x+C 由FO)=1得C=1 Sin4x +1 sin4x +1

4 9、   + = + dx 3sec x 1 sec x 3 cos x dx 2 2 2  + = d 3tanx 3tan x 4 1 3 1 2 C 2 3tanx arctan 2 1 3 1 =  + C 2 3tanx arctan 2 3 1 = + 6 、 设 f(x) 的原函数 F(x) 恒正，且 F(0) =1 ， 当 x  0 ， 有 f(x)F(x) sin 2x 2 = ，求 f(x) 解： F(x)= f(x) F (x)F(x) sin x 2  = ( ) ( )  =  F x F x dx sin 2xdx 2 ( ) ( ) ( )  =  1− cos4x dx 2 1 F x dF x ( ) sin4x C 4 1 F x x 2 = − + 由 F(0) =1 得 C=1 ∴ ( ) sin4x 1 4 1 F x = x − + ∴ ( ) sin4x 1 4 1 x sin x f x 2 − + =

定积分的概念 、定义及性质 〈定义>:∫。f(xAx=mn2x,入=max④x} 注意(1)积分区间有限,被积函数有界 (2)与“分法”、“取法”无关 (3)定积分的值与积分变量的选取无关 f(xdx=∫。f(tut (4)f(x)在小]有界是f(x)在[ab]可积的必要条件, f(x)在[ab连续是f(x)在a,b]可积的充分条件。 几何意义>:∫。f(在几何上表示介于y=0,y=f(x), X=a,x=b之间各部分面积的代数和。 补充规定∫。fx=0∫。(x对x=J <性质〉P115,性质(1)-(9) 其中(8)为估计定理:在[a,b],m≤fx)≤M,则 m(b-a)≤∫f( xdsl(b-a) (9)中值定理:如f(x)在连续,3∈[ab],使 dx=f( Xt 例1、利用定积分几何意义,求定积分值 xdx 上式表示介于x=0,x=1,y=0,y=√1-x2之间面积

5 定积分的概念 一、定义及性质 ： ( )  ( )  = → =  n i 1 i i x 0 b a f x dx lim f ζ x ，  i 1 i n λ = max x   注意(1)积分区间有限，被积函数有界； (2)与“分法”、“取法”无关； (3)定积分的值与积分变量的选取无关 ( ) ( )        =  b a b a f x dx f t dt ； (4) f(x) 在 a,b 有界是 f(x) 在 a,b 可积的必要条件， f(x) 在 a,b 连续是 f(x) 在 a,b 可积的充分条件。 ： ( )  b a f x dx 在几何上表示介于 y = 0 ， y = f(x) ， x = a ， x = b 之间各部分面积的代数和。 补充规定 f(x)dx 0 a a  = ( ) ( )  = − a b b a f x dx f x dx P115，性质（1）—（9） 其中(8)为估计定理：在 a,b，m  f(x)  M ，则 m(b a) f(x)dx M(b a) b a −    − (9)中值定理：如 f(x) 在 a,b 连续， ζ a,b ，使 f(x)dx f(ζ )(b a) b a  = − 例1、 利用定积分几何意义，求定积分值 4 1 x dx 1 0 2   − = 上式表示介于 x = 0, x =1, y = 0, 2 y = 1− x 之间面积

例2、(估计积分值)证明2<。 dx 2+x 证:2+x 2x-2)习上最大值为 最小值为2

6 例 2、（估计积分值） 证明 2 1 2 x x dx 3 2 1 0 2  + −   证： 2 2 2 1 x 4 9 2 x x       + − = − − 在 0, 1 上最大值为 4 9 ， 最小值为 2 ∴ 2 1 2 x x 1 3 2 2  + −  ∴ 2 1 2 x x 1 3 2 1 0 2  + −  

二、基本定理牛顿一莱伯尼兹公式 1°变上限积分 基本定理:设f(x)在 b连 续,x为a,b)上任意一点 则(x)=∫。f(tt是可导函数,且(x)=f(x) 即∫f(dt=f(x)说明∫f(tut为f(x)的一个原函数。 例3、已知F(x)=J。edt,F(x)=∫。edt,E=∫ae F:(x)=∫ F(x)=∫o(ut E4(x)=∫。xf(t,E(x)=∫。(x-)()灿 求:F(x) WF: F(x)=e-x F(x)=2xe-xF(x)=sinxe-cos'x F x)=cosxe Sine -cosx F(x=xf(x F(x)=」of(1t+xf(x) E()=(对(址() tIntdt 例4、 lim -cosx lim cosxIncosxsIx SInx =-lim cosx lim SInx lin 7

7 二、基本定理 牛顿—莱伯尼兹公式 1 0 变上限积分 基本定理：设 f(x) 在 a, b 连续， x 为 (a, b) 上任意一点， 则 ( ) ( ) =  x a Φ x f t dt 是可导函数，且 Φ(x) = f(x) 即 ( ) ( )  = x a f t dt f x dx d 说明 ( )  x a f t dt 为 f(x) 的一个原函数。 例 3、已知 F (x) e dt x 0 t 1 2  − = ,F (x) e dt 2 x 2 0 t 2  − = ,  − = 1 cosx t 3 2 F e ( )  − = sinx cosx t F4 x e dt 2 , ( ) ( ) =  x 0 F5 x tf t dt , ( ) ( ) =  x 0 F6 x xf t dt ， ( ) ( ) ( ) =  − x 0 F7 x x t f t dt 求： ( )       Fi  x i =1, 2, , 9 解： ( ) ( ) ( ) cos x 3 x 2 x 1 2 4 2 F x e F x 2xe F x sinxe − − −  =  =  = F (x) cosxe sinxe F (x) xf(x) 5 sin x cos x 4 2 2  = +  = − − F (x) f(t)dt xf(x) x 0 6  =  + ( ) ( ) ( ) ( )    =       = − x 0 x 0 x 0 / 7 f t dt ' F x x f t dt tf t dt 例 4、 3 x 0 4 1 cosx x 0 4x cosxlncosx sinx lim x tlntdt lim  = → →  2 x 0 x 0 x 0 x lncosx lim x sinx lim cosx lim 4 1 → → → =   2x cosx sinx lim 4 1 x 0  − = → 8 1 = −

例5、y=。(t-1)dt有极大值的点为D A x=1 B X=-1 C. x=+1 D. x=0 例6、如)=∫。1,4+后,1.tx≠0则F()=B B 例7、P117例3.11 例8、设f(x)在(+∞)上连续,且F(x)=∫。(x-2)(t 证明: 若f(x)为偶函数,则F(x)也是偶函数 证: F(-x)=∫。(-x-2t)(t-j。(-x+2)(-(-t ∫。(-x-2)f(t 20定积分计算 ①牛顿莱伯尼兹公式 定理设[)在连续,F()为F)在 上的任意一个 原函数,则有∫xAdx=F(x)=F(b)-F( ②定积分换元法与分部积分法

8 例 5、 ( ) =  − 2 x 2 0 t y t 1 e dt 有极大值的点为 D A. x =1 B. x = −1 C. x = 1 D. x = 0 例 6、如 ( ) dt 1 t 1 dt 1 t 1 F x x 1 0 2 x  0 2  + + + = x  0,则 F(x) = B A. 0 B. 2  C. 3 1 D. 2e 例 7、P117 例 3.11 例 8、设 f(x) 在 (− ,+) 上连续，且 F(x) (x 2t)f(t)dt x  0 = − , 证明： 若 f(x)为偶函数，则 F(x)也是偶函数 证： ( ) ( ) ( ) ( x 2u)f( t)d( t) t u F x x 2t f t d t x 0 x 0 − + − − = − − =  − −  − ( x 2t)f(t)dt x  0 = − − = F(x) 2 0 定积分计算 ① 牛顿莱伯尼兹公式 设 F(x) 在 a, b 连续。 F(x) 为 F(x) 在 a, b 上的任意一个 原函数，则有 f(x)dx F(x) F(b) F(a) b a b a  = = − ② 定积分换元法与分部积分法

3°奇偶函数在对称区间积分性质,周期函数积分性质 )f(x)在[a,a连续,a>0 当f(x)为偶数,则∫。fxx=2。fxdx 当f(x)为奇函数,则∫f(x)dX=0 (2)J"xAdx=0xAx,f()以T为周期 说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的 例9、∫1x(1+x20)e-e)kx= 原式=2。xe-e)dx 2∫。xd(e-e”) 2/x(e cOS CoSX 例10 cos x+sinx 2 1+sinX Isin x= 2arctansinx 01+Sn B5, vcos x-cos'xdx=a xlcosxls inxdx 「2 xcosxsinxdx xcosxsinxdx 2 xds in2x dsin 2 9

9 3 0 奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质 (1) f(x) 在 − a, a 连续， a  0 当 f(x) 为偶数，则  =  a 0 a -a f(x)dx 2 f(x)dx 当 f(x) 为奇函数，则 f(x)dx 0 a -a  = (2)  =  + T 0 a T a f(x)dx f(x)dx ，f(x) 以 T 为周期 说明在任何长度为 T 的区间上的积分值是相等的。 例 9、 e 4 x(1 x )(e - e )dx 1 -1 2001 x -x  + = 原式 =  1 0 x -x 2 x(e - e )dx =  1 0 x -x 2 xd(e - e )   1 0 x x 2 x(e e ) − = + e 4 = 例 10、   − + = + 2 π 2 π 2 π 0 2 2 dx 1 sin x cos x dx cos x 2sin x cos x 2 π dsin x 2arctansinx 1 sin x 1 2 π 0 2 π 0 2 = = + =  例 11、  − =  π 0 π 0 2 4 x cos x cos xdx x cosx sinx dx     = − 2 2 π 0 xcosxsinxdx xcosxsinxdx =  −  π 2 π 2 π 0 x dsin 2x 2 1 xdsin2x 2 1 2 π =

1+x 例12、设f(x) x≥0则∫,x-2)dx= D、2e 1fx-2)dxx-2=t∫tdt=∫(1+x2)dx+∫ 例13、加P124例3.18 例14、 dx 设x-1=snt 3(1+sin t) 3 I coSt ost dt=2 2(1+sin t)dt=I

10 例 12、设      +  = e x 0 1 x x 0 f(x) x 2 则  = 3 1 f(x - 2)dx A、 3 1 e − B、 3 1 e + C、 3 1 D、2e ( f(x - 2)dx x 2 t f(t)dt (1 x ) d x e d x) 1 0 x 0 1 2 1 - 1 3  1 − =  =  − + +  例 13、 加 P124 例 3.18 例 14、   − = − 2 0 2 2 2 0 2 2 dx 1- (x 1) x dx 2x x x 设 x -1= sin t π 2 3 cos t d t 2 (1 sin t)dt cost (1 sin t) 2 π 0 2 2 π 2 π 2 = + = +   −