北京工业大学：《概率论与数理统计 Probability and Statistics》课程电子教案（PPT教学课件）第十一讲 第三章 随机向量 第6节 随机变量的独立性

第三章第六节 随机变量的独立性

第三章第六节 随机变量的独立性

随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念 两随机变量独立的定义是: 设X,是两个:,若对任意的x1,有 P(X≤x,y≤y)=P(Xsx)P(Y≤y) 则称X,Y相互独立 两事件AB独立的定义是: 若P(AB)=P(4)P(B) 则称事件AB独立 回回

随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念 两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 . 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有 P(X x,Y  y) = P(X  x)P(Y  y) 则称X,Y相互独立. 两随机变量独立的定义是：

用分布函数表示,即 设X,Y是两个,若对任意的xy,有 F(x,y)=Fx(x)Fy(y 则称X,Y相互独立 它表明,两个E相互独立时,它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 回回

F(x, y) F (x)F ( y) = X Y 用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v.，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立 . 它表明，两个r.v.相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积

若(X,Y)是连续型E,则上述独立性 的定义等价于: 对任意的x,y,有 f(x, y=fx(f() 几乎处处成立,则称X,Y相互独立 其中f(x,y)是XY的联合密度, 这里“几乎处处 成立”的含义是: fx(x),f1(y)分别是X的 在平面上除去面 边缘密度和Y的边缘密度 积为0的集合外, 处处成立 回回

其中 f (x, y) 是X,Y的联合密度， f (x, y) f (x) f ( y) = X Y 几乎处处成立，则称X,Y相互独立 . 对任意的 x, y, 有 若 (X,Y)是连续型r.v. ，则上述独立性 的定义等价于： 这里“几乎处处 成立”的含义是： 在平面上除去面 积为0的集合外， 处处成立. f X (x), f Y ( y) 分别是X的 边缘密度和Y 的边缘密度

若(X,)是离散型rν,则上述独立性的 定义等价于: 对(X的所有可能取值(xpy),有 P(X=X,Y=y)=P(X=XP(r=yi 则称X和Y相互独立 回回

若 (X,Y)是离散型r.v，则上述独立性的 定义等价于： ( , ) ( ) ( ) i j i j P X =x Y = y = P X =x P Y = y 则称X和Y相互独立. 对(X,Y)的所有可能取值(xi , yj ),有

例1考察(书中例22即吸烟与得肺癌关系 的研究)中随机变量X与Y的独立性. 0 P 0.000130.19987020000 0.000040.799960.8000 0.00017 10 99983 解:P{X=0}P{Y=0}=0.2×0.00017 ≠0.00013=PX=0,y=0} X和Y不相互独立 回回

解: 例 1 考察(书中)例3.2.2(即吸烟与得肺癌关系 的研究)中随机变量X与Y的独立性. Y X 0 1 Pi. 0 0.00013 0.19987 0.20000 1 0.00004 0.79996 0.80000 p.j 0．00017 0．99983 1 P{X=0}P{Y=0}=0.20.00017 ≠0.00013=P{X=0,Y=0} ∴X和Y不相互独立

例2设:(x,Y)~N(1,2,2,p) 求证:X与Y独立台p=0 证明 f(r, y) x-u 2p x-1)(y-2)( 2(1-p 2 010 102 2002 ∈R 回回

证明: 例2 设:(X ,Y )∼N(1,2,1,2 ,) 求证: X与Y独立 =0 x y R e f x y x u x u y u y u  − =         − + − − − − − − , 2 1 1 ( , ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 2 1 2          

由 x∈R 2 f(y)=、√2兀o2 20 y∈R于是 “<”把p=0代入 (x-l1 f(,y) 2兀OO2 X-u (y-2) 20i 2=f(x)f/(y) y∠兀O1 √2丌2 Ⅹ与Y独

f x e x R x X =  − − 2 1 2 1 1 2 ( ) 2 1 1 ( )    由 f y e y R y Y =  − − 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( )    “” 把=0代入         − + − −  = 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 ( , )      x u y u f x y e ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 2 2 ( ) 1 e e f x f y X Y x u y u =  = − − − −     于是: ∴ X与Y独立

X和Y相互独立∴V(x,y)∈R2.有 f(x, y)=fx(x)fy(y) 特别,取x=u1,y=u2代入上式有 f (u,, u2)=f(u,)fy(u2) 即: 2丌O2 2n1√2兀a2 对比两边∴p=0 回回

“” ∵X和Y相互独立 ∴ (x,y) R 2 .有 f(x,y)= fX(x)fY(y) 对比两边 ∴ =0 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1       =  − 特别,取 x=u1 , y=u2 代入上式有 f(u1,u2)= fX(u1)fY(u2) 即:

例3设(X,)的概率峰边 e (x+对一切x,y,均有: f(x,y 0,/f(x,y)2=f(x)(y) 故X,Y独立 问X和Y是否独立 解:f(x)=xe(小=xex,x>0 f(y)= xe tax=e”,y>0 即 xe. x>o e,y>0 ∫x(x) ∫(y) 10.其 0,其1 回回

例3 设(X,Y)的概率密度为      = − + 0, 其它 , 0, 0 ( , ) ( ) xe x y f x y x y 问X和Y是否独立？ 解：   − + = 0 ( ) f (x) xe dy x y X   − + = 0 ( ) f ( y) xe dx x y Y , x xe− = , y e − = x>0 即：     = − 0, 其它 , 0 ( ) xe x f x x X     = − 0, 其它 , 0 ( ) e y f y y Y 对一切x, y, 均有： 故X,Y 独立 f (x, y) f (x) f ( y) = X Y y >0