B.Ⅱ吉米多维奇 数学分析习题集题解 (六) 费定晖周学圣编演 郭大钩邵品琮主审 山东科学技术出版社
目录 第八章重积分和曲线积分 §1.重积分……………………………………………………1 §2.面积的计算法……… 苓3,体积的计算法 84.曲而面积计算法 ………………105 氵5.重积分在力学上的应用………………………!9 §6.二重积分……… 144 §.利用三重积分计算体积法…………………168 8.重积分在力学上的应用…187 §9.重和重!义积分…………218 §0.多重积分 …………………………270 §1曲线积分……………………………………………299 s12.格林公式……… ………………………………319 S13.曲线积分的物理应用… 丶号甲甲4Ba· §14.出面积分……………………………400 §15.斯托克斯公式 …130 16.奥斯持洛格拉德斯基公式………………………440 §17.场论初步 475
第八章重积分和曲线积分 §1.二重积分 1二重积分的直接计算法所谓连续函数f(x,y)展布在有限封 闭可求积维域内的二重积分乃指的数 f(x,y)ldy=m∑》f(,y)△43 其中Δx,=x,+1-x,4y,=y+-y,而其和为对所有i,使(x,y)∈ 的那些值来求的。 若域由下面的不等式所给出 a≤x≤b,y1(x)≤y≤y2(x), 其中y1(x)和y2(x)为在闭区间[a,b〕上的连续函数,则对感的-重积 分可按下面的公式来计算 x】 了·y nd y 2二重积分中的变量代换若可微分的连续函数 ytu 把平面Oxy上的有限闭域D单值唯一地映射为平面OU上的域Ω及 雅哥比式 D(z, y) I=D(a,)×0, 则下之公式正确: f(r,y)dxdy= l f(r(u, v),y(u,D))1I dudu
特别是,根据公式x=rcsy,y= rainy变换为极坐标r和φ情形 有 f(r, y)dxd. f(rcos, rsing)rdrd9. 3901把积分‖ rydxdy,当作积分和的极跟,用直线 n 把积分域分许多正方形,并选取被积函数在这些正方 形之右顶点的值计算所论积分的值 解由于 (n+1 An ro). 其中 n(n+1) n(n+1) 2 故 c dady 4 ≤ 3902.用直线 0,1, 把域1≤x≤2,1≤y≤3分为许多矩形.作出函数 f(x,y)x2+y2在此域内的积分下和S与积分上和 S.当n→∞时.上和与下和的极限等于什么? 解下和
1+ +(1+ 2 2n2 2 i+n十 +2 401 3n 其中 (n-1)n(2n-]) (n-1)n(2n-1) 上和 +1+ 2 2 40,11 ±+ 3n 当n+∞时,S与S的极艰均等于3=133 3903.用-系列内接正方形作为积分域的近似域,这些方形 的顶点A,在整数点,并取被积函数在每个正方形距原 点的最远的顶点之值近似地计算积分 dxdy 4+x2 并与精确的值加以比较。 解由题意知,应取的正方形顶点为(1,1),(1,2),(1, 3),(1,4),(2.1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(32)
(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),故利用对称性知 dxdy 1⊥2 24+x2+ 26 29 + 32 37 44 42 49 0.196+0.371+0.343+0.312+0.177 0.329+0.302+0.154+0.285 2.470 Eev 即 9.880 √24+x2+ 下面计算积分的精确值: Tay 24x2+ 41n(y+√24+x+ 4ln(√25-x2+7)dx-2|ln(24+x2)d 0 由于 ln(24+x2)dx=dn(24+x2)-f 24 xln(24+x2)-2x+ 24 actg +C 从而 2|In(24+x2)dx =[2xln(24+x2)-4x+48 actg 24小}0
20ln7-20+8√6 arct 又 4In(25 7)d. D =4xln(√25-x2+7)。 dr 4 0(√25 +7)√25 dx 20ln7+ (√25-x2+7)25 再令x=5sint,有 x“x 2t+25 0(√25 7)√25-x 5cost+7 (5cost- 2dt 24 de o 5cost+-7 ?t一5nt) 24 arct tg 7丌 2 5-4√6 arct 24 从而 4|ln(25-x2+7)dx 2ln7+14x-20-16 6 actg 24 注意到 Zarctg g 24 √24 最后便得到
ray 24十 14x-424(2ctg-2+ arte/24 √/24 2r(7 24)÷13.19. 将精确值与近似值作比较,显见误差较大,其原因 在于有不少不是正方形的域都被忽略,因而产生较大的 绝对误差431及较大的相对误差3.19÷32.7 注意,求 d.icl y 的精确值若釆用 24+x2+ 极坐标则较为简单: drd 24 /24 2x(7 24) 但按原习题集的安排,似应在3937题以后才开始使用 极坐标故本题仍用直角坐标进行计算 3904.用直线x-常数,y=常数,x+y=常数把域S分为 四个相等的三角形,并取被积函数在每令三角形的中线 交点之值.近似地计算积分 t 3ds 其中S表由直线x=0,y=0及x+y=1所围成的三 角形 解我们只须 1及x+y=2 分域S 即得四个相等的三角形,它们的面积均为女,重心为
2 66 及 63 于是,得北积 分的近似值为 t yds +÷+2 ] 63 0.577-0.816+2.0913)亠0.402, 其精确值为 +ydus ya) (1 )d 0.4 3905.把域S{x2+y2≤1}分为有限个直径小于δ的订求积的 子域ASi(=1,2,…,n).对于什么样的值δ能保证不 等式 sin(+y)dS->sin(x, +y, AS <0.l 成立?其中(x;,y)∈△S; 解记函数sin(x+y)在△S2中的振幅为c,则 sin(+ y)ds sin(x,+y;)△S Csin(a t y)- sin(x, y. )]ds Isin(x + y)sin(x, +y, )ds
ads AS 由于域S{x2+y≤l}的面积等于x,故只要 0.001 使能满足原不等式的要求。但因为 sup sin(x,+ y,) y,)」 4’,A ≤sup|(x;+y.)-(x;+y,) x…) ≤sup〔 1+」y-y|〕 ≤sup√2〔(x;-x,)2+( (」,y.)∈A5 √2 故只要取 δ<2丌 0.001÷0.00022 则有 sn(x+y)4S-∑sin(x,+y)△S.|<0.00 关)对于任意非负实数ab有 2ab≤a2+b或(a+b)2≤2(a2+b2), 从而 a+b≤√2(a2+b2). 计算积分: 8
