第五讲原函数与不定积分 Cauchy积分公式 解析函数的高阶导数
第五讲 原函数与不定积分 Cauchy积分公式 解析函数的高阶导数
§34原函数与不定积分 口1.原函数与不定积分的概念 们2.积分针算公式
1. 原函数与不定积分的概念 2. 积分计算公式 §3.4 原函数与不定积分
1.原函数与不定积分的概念 由§2基本定理的推论知:设f(z)在单连通区 域B内解析,则对B中任意曲线C,积分+fhz与路 径无关,只与起点和终点有关 当起点固定在,终点在B内变动+f(x 在B内就定义了一个变上限的单值函数,记作 F(z)=f(s)d(1) 定理设f(z)在单连通区域B内解析,则F(l在 B内解析,且F()=f(x)
1. 原函数与不定积分的概念 由§2基本定理的推论知：设f (z)在单连通区 域B内解析，则对B中任意曲线C, 积分+c fdz与路 径无关，只与起点和终点有关。 当起点固定在z0 , 终点z在B内变动,+c f (z)dz 在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作 = z z F z f d 0 ( ) ( ) (1) 定理 设f (z)在单连通区域B内解析，则F(z)在 B内解析，且 F'(z) = f (z)
定义若函数p()在区域B内的导数等于f(x),即 g'(z)=f(z),称g(z)为f(在B内的原函数 上面定理表明F(z)=f(5)d是/(的一个 原函数。 设H(x)与G(z是f(z)的任何两个原函数, IG(z)-H(z)=G"(z)-H'(x)=f(z)-f(x)=0 G(z)-H(z)=c,(c为任意常数 况见第二章§2例3) 这表明:f()的任何两个原函数相差一个常数。 会A会会会会会会会会会会会会会会会会会A会A会会会会会会会会会会A会会会A会会会A会A会会会会会会会会会会A会会会会会会会会会A
定义 若函数 (z) 在区域B内的导数等于f (z) ，即 '(z) = f (z) ,称 (z)为f (z)在B内的原函数. = z z F z f d 0 上面定理表明 ( ) ( ) 是f (z)的一个 原函数。 设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数， ( ) ( ) , ( ) [ ( ) ( )]' '( ) '( ) ( ) ( ) 0 G z H z c c为任意常数 G z H z G z H z f z f z − = − = − = − = 这表明：f (z)的任何两个原函数相差一个常数。 (见第二章§2例3)
定义设F()是f(x)的一个原函数,称F(x)+c(c为 任意常数)为f(z的不定积分,记作 ∫f(ahk=F()+c 2.积分针算公式 定理设f(x)在单连通区域B内解析,F(x)是f() 的一个原函数,则 f(z)du=F(1)-F(Zo(Vzo, 1 E B 此公式类似于微积分学中的牛顿-莱布尼兹公式 但是要求函数是解析的比以前的连续条件要强
f (z)dz = F(z)+ c 2. 积分计算公式 定义 设F(z)是f (z)的一个原函数，称F(z)+c(c为 任意常数)为f (z)的不定积分，记作 定理 设f (z)在单连通区域B内解析， F(z)是f (z) 的一个原函数，则 ( ) ( ) ( ) ( , ) 1 0 0 1 1 0 f z dz F z F z z z B z z = − 此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式. 但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强
例1计算下列积分: 其中C为半圆周=3Rex≥0, 起点为-3i,终点为i; 解1) ,在Rez≥0,z≠0上解析, 故 -2+113i 2+1 3i 解2:[,=[2 3ie de 元 ge 2i6 2ed、2i 3
例1 计算下列积分： 3 , 3 ; 3,R e 0, 1 1) 2 i i C z z dz z C 起点为 终点为 其 中 为半圆周： − = 解1) 3 2 | 2 1 1 1 R e 0 0 , 1 3 3 2 1 2 2 i dz z z z z z i i C = − + = − − + 故 在 ， 上解析 3 2 3 1 9 1 3 2 2 2 2 2 2 2 i d e i d e i e dz z i i i C = = = − − 解 ：
2) 其中C为单连通区域D:-x<amgz<m内 起点为,终点为的任意曲线 解2)∵「在D内解析,又lz是的一个原函数 故[z=lz-ln=lnz(zED
1, . arg 1 2) 起点为 终点为 的任意曲线 其 中 为单连通区域 ： 内 z C D z dz z C − ln ln1 ln ( ). 1 1 , ln 1 dz z z z D z z D z z C 故 = − = 解2) 在 内解析 又 是 的一个原函数
例3计算下列积分: 3 2i 3 3 z" dz n+1 IB n+1 n+1 n+1 n+1 sin zdz=sin z-z coS )'=sin cos i
例3 计算下列积分： 3 2 | 3 3 2 z i z dz i i i i = − = − + − ( ) 1 1 1 1 1 | 1 1 + + + − + = + = n n n n n z n z dz z zdz ( z z z) i i i i i sin sin cos | sin cos 0 0 = − = −
小结求积分的方法 (J(xnk=imn∑/(5Ax (2)f(z)d=udx-vdy+il vdr+udy (3)|f(z)z=z()k()dt (4若/(解析折B单连通Cc则()hk=0 (5)若f(z)在B内解析,B单连通则 f(z)dz=F(z)1, F(z)=f(z)
小结 求积分的方法 k n k k c n f z dz = f x = → 1 (1) ( ) lim ( ) f z dz = udx − vdy + i vdx + udy c (2) ( ) f z dz f z t z t dt c (3) ( ) = [ ( )] ( ) (4) ( ) , , , ( ) = 0 c 若f z 解 析 B单连通 C B 则 f z dz ( ) ( ) , ( ) ( ) (5) ( ) , , 1 ' 0 1 0 f z dz F z F z f z f z B B z z z z = = 若 在 内解析 单连通 则
§35 Cauchy积分公式 内容简介 利用 Cauchy- Goursat基本定理在多连通域上 的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解 析函数内部值的积分公式该公式不仅给出了解析 函数的一个积分表达式,从而成为研究解析函数 的有力工具,而且提供了计算某些复变函数沿闭 路积分的方法
利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上 的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解 析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析 函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数 的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭 路积分的方法. 内 容 简 介 §3.5 Cauchy积分公式