数值计算方 法 开课单位:数学 系 张敏洪(数学系) mh zha ang agscasaccn 考试方式:闭卷。作业占20% 30%,卷面70%-80%。 讲义、作业及答案可下载。 主要参考书: 1.丁丽娟等,《数值计算方法》,北京理 工大学,1998 2.李庆扬等,《数值分析》,华中理工大 学出版社,武汉,1994。 3.施妙根等,《科学和工程计算基础》, 清华大学出版社出版,北京,1999 4.关治,陆金甫,《数值分析基础》, 高等教育出版社,北京,1998
数 值 计 算 方 法 开课单位：数学 系 张敏洪（数学系） mh_zhang@gscas.ac.cn 考试方式：闭卷。 作业占 20％― 30％，卷面 70％―80％。 讲义、作业及答案可下载。 主要参考书： 1.丁丽娟等，《数值计算方法》，北京理 工大学，1998。 2.李庆扬等，《数值分析》，华中理工大 学出版社，武汉，1994。 3. 施妙根等，《科学和工程计算基础》， 清华大学出版社出版，北京，1999。 4. 关治，陆金甫，《数值分析基础》， 高等教育出版社，北京，1998
数值计算 方法 Chap1绪论 sI数值计算方法研究的对象与特点 数值计算方法:研究适合计算机 进行科学计算的方法。 使用计算机、 离散。 解决科学技术和工程问题的步骤: 实际问题→建立数学模型→研究计 算方法少 编 程上机计算→求的结果。 例如:(1)某一地区的地形图,用空 中航测方法空中连续拍照。 (2)为形成三维地形图,建立 了一个大型超定线性方程组。 (3)采用最小二乘方法求解该 方程组的最小二乘解,然后
数 值 计 算 方 法 Chap.1 绪论 §1 数值计算方法研究的对象与特点 数值计算方法：研究适合计算机 进行科学计算的方法。 使用计算机、 离散。 解决科学技术和工程问题的步骤: 实际问题➔建立数学模型➔研究计 算方法➔ 编 程上机计算➔求的结果。 例如:⑴ 某一地区的地形图,用空 中航测方法,空中连续拍照。 ⑵ 为形成三维地形图,建立 了一个大型超定线性方程组。 ⑶ 采用最小二乘方法求解该 方程组的最小二乘解,然后
再整体平滑。 (4)编程序,形成一个大型程 序,上机进行计算 数值计算方法课的主要基础与内 容 计算机只能进行加减乘除四则运算 和一些简单的函数计算 1.数值代数:求解线性方程组的解法 (分直接方法和间接方法),求矩阵 的特征值与特征向量。 2.数值逼近:插值和数值逼近,数值 微分和数值积分。 3.方程求解:非线性方程、常微分方 程、偏微分方程数值解法。 特点: 1.面向计算机。 2.有可靠的理论分析(收敛性、稳 定性、误差分析) 3.要有好的计算复杂性(时间、空 间)
再整体平滑。 ⑷ 编程序,形成一个大型程 序,上机进行计算。 数值计算方法课的主要基础与内 容: 计算机只能进行加减乘除四则运算 和一些简单的函数计算 1. 数值代数:求解线性方程组的解法 （分直接方法和间接方法），求矩阵 的特征值与特征向量。 2. 数值逼近：插值和数值逼近，数值 微分和数值积分。 3. 方程求解：非线性方程、常微分方 程、偏微分方程数值解法。 特点： 1． 面向计算机。 2． 有可靠的理论分析（收敛性、稳 定性、误差分析）。 3． 要有好的计算复杂性（时间、空 间）
4.要有数值试验。 对算法所要考虑的问题: 计算速度。例如,求解一个20阶 线性方程组,用消元法需3000次乘 法运算;而用克莱姆法则要进行 97×10次运算,如用每秒1亿次乘 法运算的计算机要30万年。 2.存储量。大型问题有必要考虑。 3.数值稳定性。在大量计算中,舍入 误差是积累还是能控制,这与算法有 关。 §2误差的来源与误差分析的重要 性 误差的来源与种类 实际问题→建立数学模型→研究计 算方法少 编 程上机计算→求的结果
4． 要有数值试验。 对算法所要考虑的问题: 1. 计算速度。 例如,求解一个 20 阶 线性方程组,用消元法需 3000 次乘 法运算;而用克莱姆法则要进行 20 9.7 10 次运算,如用每秒1亿次乘 法运算的计算机要 30 万年。 2.存储量。 大型问题有必要考虑。 3.数值稳定性。 在大量计算中,舍入 误差是积累还是能控制,这与算法有 关。 §2 误差的来源与误差分析的重要 性 误差的来源与种类 实际问题➔建立数学模型➔研究计 算方法➔ 编 程上机计算➔求的结果
1.模型误差:在建立数学模型过程 中,不可能将所有因素均考虑,必然 要进行必要的简化,这就带来了与 实际问题的误差 2.测量误差:测量已知参数时,数据 带来的误差。 3.截断误差:在设计算法时,必然要 近似处理,寻求一些简化。 例 4 6 (-1)”x2 COSX (2n)! 当|x很小时,可用 2作为cosx的近似值, 其截断误差小于24 例:对函数f(x)用 Taylor展开, 用多项式 P(x)=f(0)+ X 2
1. 模型误差: 在建立数学模型过程 中,不可能将所有因素均考虑,必然 要进行必要的简化,这就带来了与 实际问题的误差。 2. 测量误差: 测量已知参数时,数据 带来的误差。 3. 截断误差: 在设计算法时,必然要 近似处理,寻求一些简化。 例 ： + − = − + − + + (2 )! ( 1) 2 4! 6! cos 1 2 4 6 2 n x x x x x n n 当 x 很 小 时 ， 可 用 2 1 2 x − 作为 cos x 的近似值， 其截断误差小于 24 4 x 。 例： 对函数 f (x) 用 Taylor 展开， 用多项式 n n n x n f x f x f P x f ! (0) 2! (0) 1! (0) ( ) (0) ( ) 2 ' '' = + + ++
近似代替,则数值方法的截 断误差为 1- R(x 4.舍入误差:计算机的字长是有限 的,每一步运算均需四舍五入,由此 产出的误差称舍入误差。 例:π、1/3,…取小数点 8位、16位。 数值分析主要讨论截断误差。测量 误差看作初始的舍入误差,数值分析也 要从整体来讨论舍入误差的影响,但这 儿不讨论模型误差。 误差分析的重要性:举例说明 例:计算并分析误差 x+5 (n=0,1,2.) 由积分估值
近似代替，则数值方法的截 断误差为 1 ( 1) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) + + + = − = n n n n x n f R x f x P x 。 4. 舍入误差: 计算机的字长是有限 的,每一步运算均需四舍五入,由此 产出的误差称舍入误差。 例：π、1／3，……取小数点 8 位、16 位。 数值分析主要讨论截断误差。测量 误差看作初始的舍入误差, 数值分析也 要从整体来讨论舍入误差的影响,但这 儿不讨论模型误差。 误差分析的重要性：举例说明 例：计算并分析误差， dx x x I n n + = 1 0 5 (n=0，1，2……） 由积分估值
(x”+5x)-5x dx-5dx 0 x+5 x+5 且由积分性质知 mIn 1Cx dx<I. maxe X 6(n+1) 0≤x≤1x x+5 可设计如下两种算法: 算法 取 dx= In 1.2 x+ 按公式n (n=0,1,2.)依次计算 的近似值。 设 0。假设计算过程中 不产生新的舍入误差
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 ( 5 ) 5 1 5 5 5 5 n n n n n n n x x x x I dx x dx dx I x x n − − − − − + − = = − = − + + 且由积分性质知 5( 1) 1 ) 5 1 ) max( 5 1 min ( 6( 1) 1 1 0 1 0 1 0 1 0 + = + + = + n x dx x x dx I n x n x n n x 可设计如下两种算法： 算 法 1 ： 取 ln 1.2 5 1 1 0 0 = + = dx x I ， 按公式 1 5 1 n = − n− I n I (n=0， 1，2……) 依次计算 I1 ,I 2 的近似值。 设 * 0 0 0 e = I − I 。假设计算过程中 不产生新的舍入误差
则 有 1n=-51n1+51”1=-5en1=-5(l n n n-1 n-1 5(-5/n2+5/m2)=(-5) n-2) (n=0,1,2. 误差扩散。 算法2:从Ik计算/k-1,应有 k-1 5k=> 数值稳定,在运算过程中,舍 入误差不增大, §3误差的基本概念 3.1(绝对)误差与(绝对)误差限 x是精确值,x是它的一个近似
则 有 * * * 1 1 1 1 1 * 2 2 2 2 5 5 5 5( ) 5( 5 5 ) ( 5) ... n n n n n n n n n n n e I I I I e I I I I e − − − − − − − − = − = − + = − = − − = − − + = − = (n=0，1，2……) ＝ ＞ 0 e ( 5) e n n = − 误差扩散。 算 法 2 ： 从 k I 计 算 k−1 I ， 应 有 k k e e 5 1 −1 = − ＝＞ n n e ) e 5 1 ( 0 = − 。 数值稳定，在运算过程中，舍 入误差不增大。 §3 误差的基本概念 3.1（绝对）误差与（绝对）误差限 x 是精确值, * x 是它的一个近似
值,称e=x-x是近似值x的绝对误 差。简称误差。 误差是有量纲的,可正可负。 误差是无法计算的,但可以估计 出它的一个上界。即x-x1≤6,称E是 近似值x的误差限,即 x-E≤X≤X+E 3.2相对误差与相对误差限 e-x 称 为近似值x”的相 对误差,记作C,。相对误差是个相对 数,是无量纲的,也可正可负。 相对误差的估计≤6,称E为 x-x 相对误差限,即x=2 实际中,x是未知的,可用x来
值,称 * e = x − x 是近似值 * x 的绝对误 差。简称误差。 误差是有量纲的,可正可负。 误差是无法计算的,但可以估计 出它的一个上界。即 − * x x ,称 是 近 似 值 * x 的 误 差 限 , 即 − + * * x x x 。 3.2 相对误差与相对误差限 称 * e x x x x − = 为近似值 * x 的相 对误差,记作 er 。相对误差是个相对 数,是无量纲的,也可正可负。 相对误差的估计 r r e ,称 r 为 相对误差限,即 * r x x x x − = 。 实际中, x 是未知的,可用 * x 来
e X-x 代替e三x=x。当较小时,因两 者的差为: s 8(x=xp s x XX 是E的高阶无穷小,可忽略不计。 3.3有效数字 定义:如果近似值x的误差限是 2×10(某一位数的半个单位)则称 x准确到小数点后n位,并从第一个 作零的数字到这一位的所有数字均为 有效数字。 例:π=3.1415926535, 31416有五位有效数字,误 差限为0.00005。 例 x=0.003400±×1035 近
代替 * r * * e x x e x x − = = 。当 r 较小时,因两 者的差为: ( ) ( ) 2 * 2 * * 2 * * * O r x x x x x x x x x x x = = − − = 是 r 的高阶无穷小，可忽略不计。 3.3 有效数字 定义: 如果近似值 * x 的误差限是 −n 10 2 1 (某一位数的半个单位),则称 * x 准确到小数点后 n 位,并从第一个 非零的数字到这一位的所有数字均为 有效数字。 例：π＝3.1415926535, 3.1416 有五位有效数字,误 差限为 0.00005。 例： * 5 1 0.003400 10 2 x − = 近