§4埃尔米 特插值 问题的提出: 不少实际问题不但要求在节 点上函数值相等,而且 还要求它的导数值也相等(即要 求在节点上具有一阶光 滑度),甚至要求高阶导数也相 等,满足这种要求的插值 多项式就是埃尔米特( Hermite 插值多项式。下面只讨 论函数值与导数值个数相等的 情况
§ 4 埃 尔 米 特插值 问题的提出： 不少实际问题不但要求在节 点上函数值相等，而且 还要求它的导数值也相等（即要 求在节点上具有一阶光 滑度），甚至要求高阶导数也相 等，满足这种要求的插值 多项式就是埃尔米特（Hermite） 插值多项式。下面只讨 论函数值与导数值个数相等的 情况
数学描述: 设在节点 <x。<x,<∴<x<b yi=f(x) m1=f(x,)(j=0,1 要求插值多项式H(x), 满足条件 H(x,)=y,H(x)=m1(=0,13…,m) 求解的思想: 这里给出了2n+2个条件, 可唯一确定一个次数不 超过2M+1的多项式
数学描述： 设在节点 a x0 x1 xn b 上， ( ) j j y = f x ， ( ) ( 0, 1, , ) m f x j n j j = = ， 要求插值多项式 H (x) ， 满足条件 H(x ) y , H (x ) m ( j 0, 1, , n) j = j j = j = 求解的思想： 这里给出了 2n + 2 个条件， 可唯一确定一个次数不 超过 2n +1 的多项式
H2n1(x)=H(x),其形式为 H2n+1(x)=a0+a1x+…+a2n 如根据上面的条件来确定 2n+2个系数a0,a1,…,a2m+1, 显然非常复杂,因此,我们仍采 用求拉格朗日插值多项 式的基函数方法。 先求插值基函数(x)及 B(x)(=0.1,…,m),共有 2n+2个,每一个基函数都是 2n+1次多项式,且满足条件
( ) ( ) 2 1 H x H x n+ = ，其形式为 2 1 2 1 0 1 2 1 ( ) + + = + + + + n n n H x a a x a x ， 如根据上面的条件来确定 2n + 2 个系数 0 1 2 1 , , , a a a n+ ， 显然非常复杂，因此，我们仍采 用求拉格朗日插值多项 式的基函数方法。 先求插值基函数 (x) j 及 ( ) ( 0, 1, , ) j x j n = ，共有 2n + 2 个，每一个基函数都是 2n +1 次多项式，且满足条件
a (xk=8 j0.j≠k d(xk=0 6(x)=0,B1(xk)=6k(元,k=0,1 于是满足 Hermite插值条件的插 值多项式H(x)=H2m+(x)可 写成用插值基函数表示的形式 2n(x)=∑Dy(x)+m月(x) 由所要构造的基函数满足的 条件,显然有H2m(xk)=yk, H2m:(x)=mk,(k=0,1…,m)。下 面的问 题就是求满足条件的基函数
0, , ( ) ( ) 0, 1, , ( ) 0, ( ) ( , 0, 1, , ), j k jk j k j k j k jk j k x x j k x x j k n = = = = = = = 于是满足 Hermite插值条件的插 值多项式 ( ) ( ) 2 1 H x H x = n+ 可 写成用插值基函数表示的形式 ( ) [ ( ) ( )]. 0 2 1 H x y x m x j j j j n j n = + = + 由所要构造的基函数满足的 条件，显然有 n k k H x = y + ( ) 2 1 ， ( ) , ( 0, 1, , ) 2 1 H x m k n n+ k = k = 。下 面的问 题就是求满足条件的基函数
a(x)及B(x)。 确定基函数: 可利用拉格朗日插值基函数 1(x) X-x x X -X )) X-x X -X 0 X-x +1 +1 a, (x)=(ax+b)l() 其中(x)是拉格朗日插值基函 数。由要构造的 Hermite 插值基函数条件有 a(x,)=(ax1+b)(x)=1
(x) j 及 (x) j 。 确定基函数： 可利用拉格朗日插值基函数 l (x) j 。 0 1 1 0 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) j j n j j j j j j j n x x x x x x x x l x x x x x x x x x − + − + − − − − = − − − − 令 ( ) ( ) ( ), 2 x ax b l x j = + j 其中 l (x) j 是拉格朗日插值基函 数。由要构造的 Hermite 插值基函数条件有 ( ) ( ) ( ) 1, 2 aj x j = ax j + b l j x j =
a(x)=l(x,)a1(x)+2ax,+b)(x)=0, 整理得 ax. +b=l: a+2l(x,)=0 解出 a=-2l(x),b=1+2x/y(x) 由于 1(x/(x-x0)…(x-x1)(x-xm1)…(x-xn
( ) = ( )[ ( ) + 2( + ) ( )] = 0, j j j j j j j j j a x l x al x ax b l x 整理得 + = + = 2 ( ) 0. 1; j j j a l x ax b 解出 2 ( ), 1 2 ( ). j j j j j a l x b x l x = − = + 由于 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 1 j j j j j j n j j n j x x x x x x x x x x x x x x x x l x − − − − − − − − = − + − +
利用两端取对数再求导,得 (x)=∑ k=O k k≠ 于是 a(x)=1-2(x-x)2 k=0 k k≠ 同理,由于B(x)在x(≠ 处函数值与导数值均 为0,而(x)=0,故可设 β、(x)=c(x-x,)l2(x)
利用两端取对数再求导，得 0 1 ( ) , n j j k j k k j l x = x x = − 于是 ( ). 1 ( ) 1 2( ) 2 0 l x x x a x x x j j k n k j k j j − = − − = 同理，由于 ( ) j x 在 ( ) i x i j 处函数值与导数值均 为 0，而 ( ) 0 j j x = ，故可设 2 ( ) ( ) ( ). j j j x c x x l x = −
又由于B(x)=1,有 B(x,)=c2(x)=1 即c=1 故有 B(x)=(x-x,)(x) Hermite插值多项式是唯一的 用反证法,假设H2m1(x)及 H2n+1(x)均满足 Hermite 插值条件,于是由 qp(x)=H2n+1(x)-H2n+1(x) 有
又由于 ' ( ) 1 j j x = ，有 ' 2 j( ) ( ) 1. j j j x cl x = = 即 c =1 故有 ( ) ( ) ( ). 2 x x x l x j = − j j Hermite 插值多项式是唯一的 用反证法，假设 ( ) 2 1 H x n+ 及 ( ) 2 1 H x n+ 均满足 Hermite 插值条件，于是由 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 x H x H x = n+ − n+ . 有
P(xk=H2n+(xk)-H2mn+(xk)=0 0(xk)=H2n(x)-H2n+1(xk)=0(k=0, 在每个节点xk上均有二重根, 即9(x)有2M+2重根。 但9(x)是不高于2n+次的多项 式,故9(x) 唯一性得证。 Hermite插值多项式余项: 仿照拉格朗日插值余项的证 明方法,若f(x)在(a2b) 内的2n+2阶导数存在,则其插值 余项
2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 k n k n k x H x H x =−= + + ' ' ' ( ) ( ) ( ) 0 ( 0,1, , ) 2 1 2 1 n n k k k x H x H x k n = − = = + + 在每个节点 xk 上均有二重根， 即 (x) 有 2n + 2 重根。 但 (x) 是不高于 2n +1 次的多项 式，故 (x) = 0 。 唯一性得证。 Hermite 插值多项式余项： 仿照拉格朗日插值余项的证 明方法，若 f (x) 在 (a,b) 内的 2n + 2 阶导数存在，则其插值 余项
(2n+2 R(x)=f(x)-H2n+1(x)= Of+(x), (2n+2) 其中5∈(a,b)且与x有关。 三次 Hermite插值: 作为 Hermite插值多项式的 重要特例是n=1的情形。 这时可取节点xk及x,插值多 项式为H3(x),满足条件 3(-k+1 k 3(-k+1 k+1 相应的插值基函数为ak(x)、 B(x)、ak4(x)、B-1(x),它
( ), (2 2)! ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 (2 2) 2 1 x n f R x f x H x n n n + + + + = − = 其中 (a,b) 且与 x 有关。 三次 Hermite 插值： 作为 Hermite 插值多项式的 重要特例是 n =1 的情形。 这时可取节点 xk 及 k+1 x ，插值多 项式为 ( ) 3 H x ，满足条件 3 3 1 1 3 3 1 1 ( ) , ( ) ; ( ) , ( ) . k k k k k k k k H x y H x y H x m H x m + + + + = = = = 相 应 的 插 值基 函 数 为 (x) k 、 (x) k 、 ( ) 1 x k+ 、 ( ) 1 x k+ ，它