西安交通大学：《高等数学（复变函数）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三讲 解析函数的充要条件初等函数 §2.2 解析函数的充要条件 §2.3 初等函数

第三讲解析函数的充要条件 初等函数

第三讲 解析函数的充要条件 初等函数

§22解析函数的充要条件 1.解析函数的充要条件 m2.举例

 1. 解析函数的充要条件  2. 举例 §2.2 解析函数的充要条件

如果复变函数和=f()=u(x,y)+ⅳ(x,y)在定 义域D内处处可导,则函数w=∫(x)在D内解析。 问题如何判断函数的解析性呢? 本节从函数u(x,y)及v(x,y)的可导性,探求 函数v=(z)的可导性,从而给出判别函数解析的 个充分必要条件,并给出解析函数的求导方法

如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。 问题 如何判断函数的解析性呢？

解析函数的充要条件 设函数v=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点 z=x+j可导,则 ∫(z+△x)-∫(z) △ u(x+△x,y+Δy)+iv(x+△x,y+Ay)}-l(x,y)+iv(x,y △x+i

一 . 解析函数的充要条件 x i y u x x y y i v x x y y u x y i v x y  +  +  +  + +  +  − + = [ ( , ) ( , )] [ ( , ) ( , )] 可 导 则 设函数 在 点 , ( ) ( , ) ( , ) z x i y w f z u x y i v x y = + = = + =  +  − z f (z z) f (z)

若沿平行于实轴的方或+A→(4y=0 f()=inf(x+△x)-f() Ax→>0 =加nl(x+△x,y)+iw(x+△x,-{u(x,y)+iv(x,y Ax→>0 lim u(x+△x,y)-l(x,y) ti lil v(x+△x,y)-v(x,y) Ax→>0 △ Ax→>0 △ ou x i p ox ax

x v x x y v x y i x u x x y u x y x u x x y i v x x y u x y i v x y z f z z f z f z x x x z  +  − +  +  − =  +  + +  − + =  +  −  =  →  →  →  → ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) lim [ ( , ) ( , )] [ ( , ) ( , )] lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 若沿平行于实轴的方式z + z → z(y = 0) x v i x u   +   =

若沿平行于虚轴的方式+△x→(△=0) f()=加f(z+△)-f(z) Az-, u(x,y+Ay)+iv(x, y+ Ay)-u(x, y)+iv(x,y) △y→>0 lim u(x, v+Avi-u(y/+i lin v(x,y+Δy)-v(x,y) m △y→0 i △y->0 i 1 au ay av. au i ayayay ay

i y v x y y v x y i i y u x y y u x y i y u x y y i v x y y u x y i v x y z f z z f z f z y y y z  +  − +  +  − =  +  + +  − + =  +  −  =  →  →  →  → ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) lim [ ( , ) ( , )] [ ( , ) ( , )] lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 若沿平行于虚轴的方式z + z → z(x = 0) y u i y v y v y u i   −   =   +   = 1

∫"(z)存在 江记忆 av. au 十L L ax 0a0a vx ay a y av au p ax ox a 0a0a 定义方程 0a 0vbνOu av ax a 称为 Cauchy- Riemann方程(简称CR方程) AA会会A会公A会会会会会会A会会A会会A会会AA会会会会A会会A会会AAA会会A会A会会A会会会A会A会会A会会A会A会会会A

y u x v y v x u y u i y v x v i x u f z   = −     =      −   =   +     '( )存 在  记忆 y v x v y u x u       −   定义 方程 称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程). y u x v y v x u   = −     =  

定理1设∫()=u(x,y)+ivx,y)在D内有定义, 则f()在点z=x+∈D处可导的充要条件是 u(x,y)和ux,y)在点(x,y)可微,且满足 Cauchy- Riemann方程 ax ay ax ay 上述条件满足时有 ∫(孔)=ux+ivx=2-in=v,-in=v+iv

定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann方程 y u x v y v x u   = −     =   上述条件满足时,有 x x x y y y y x f '(z) = u + i v = u − i u = v − i u = v + i v

证明→ (由f()可导=CR方程满足上面已证!只须证 f(的可导→→函数u(x,y)、vx,y)可微) 函数w=()点可导, ∫"(z)=lin ∫(z+△z)-f(x) 设p(△z)= ∫(z+△z)-f(x) 则f(x+Az)faf(x)Az+p(Az)Az(1),且 imp(△z)=0 Az→>0

证明 （由f (z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证 f (z)的可导 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。  ""  ∵函数 w =f (z)点 z可导，即 '( ) ( ) ( ) ( ) f z z f z z f z z −  +  − 设   = 则 f (z+ Δz)-f(z)=f (z)Δz+(Δz)Δz (1), 且 z f z z f z f z z  +  − =  → ( ) ( ) '( ) lim 0 lim ( ) 0 0  =  → z z 

令:∫(z+Az)-f(z)=Miv,∫(x)=a+沥, p(△z)=p1+ip2故(1)式可写为 AutiAv=(a+)(ax+iAy) +(p1+)(ax+iAy) (aMx-bAyp Ax-Pp2Ay) +i(bArany+P,Ax+py) 因此M=Ax-b4y+p1Ax-p24y, △v=bAx+ay+p2Ax+p14y lim p(4z)=0.'. im p,=lim p2=0 4→>0 0 0 小y->0 P14x-024y 2△x+p1△ →Iil =Olim Ax→>0 △x→)0 △ △y→>0

Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2 )(Δx+iΔy) =(aΔx-bΔy+1Δx−2Δy) +i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy) 令：f (z+Δz) − f (z)=Δu+iΔv，f (z)= a+ib， (Δz)=1+i2 故（1）式可写为 因此 Δu=aΔx−bΔy+1Δx−2Δy , Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1Δy lim ( ) 0 0 = → z z     lim lim 2 0 0 0 1 0 0  = = → → → →       y x y x lim 0 1 2 0 0 = −  → → z x y y x        lim 0 2 1 0 0 =   +   →  → z x y y x  