第七讲泰勒( Taylo)级数 罗朗( Lauren级数
第七讲 泰勒(Taylor)级数 罗朗(Laurent)级数
§43泰勒( Taylor)级数 m1.泰勒展开定狸 口2.展开式的唯一性 m3.简单初等函敝的泰勒展开式
1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式 §4.3 泰勒(Taylor)级数
1.泰勒(por)展开定理 由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数。 C会会A会会会会公 现在研究与此相反的问题: 个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函 数在解析点能否用幂级数表示?) 以下定理给出了肯定回答: 任何解析函数都一定能用幂级数表示
1. 泰勒(Taylor)展开定理 现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？） 由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数。 以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示
定理(泰勒展开定理) 设f(z)在区域D内解析,z∈D,R为z到D的边界 上各点的最短距离→当z-z0<R时, f(x)=2cn(z-n)”( f(=)在=0处 n=0 的 aylor级数 其中:cn=fm(x)n=0,1,2, 多D 分析:Cn=f(z0) f(5)d n 2ni ks-zoy k k 代入(1)得
定理（泰勒展开定理） ( ) 0,1,2, ! 1 : ( ) ( ) (1) , ( ) , , 0 ( ) 0 0 0 0 0 = = = − − = f z n n c f z c z z z z R f z D z D R z D n n n n n 其 中 上各点的最短距离 当 时 设 在区域 内解析 为 到 的边界 的 级数 在 处 Taylor f z z0 ( ) D k 0 z ( ) k z r d z f i f z n c k n n n − = − = = + 0 1 0 0 ( ) : ( ) 2 1 ( ) ! 1 分析： 代入(1)得
∑cn(z-a)=∑ 0 0 1rf(5) D ∑ 2=0(2uisk(5-zo ∽0 ∫(5) k 27 ∑5m4(-xy) n=0 又(x)=15n) 2ni k5 -z 比较1)2)有,()=f(5) 5-xa(4-4)(-zn)”(
D k 0 z ( ) (*) ( ) ( ) ( ) 1),2) 0 0 1 0 n n n z z z f z f − − = − = + 比 较 有 ， 2) ( ) 2 1 ( ) − = k d z f i f z 又 ( ) 1) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ! ( ) ( ) 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 − − = − − = − = − = + = + + = = k n n n n n k n n n n n n n z z d z f i d z z z f i z z n f z c z z z
-50 q<1, 注意到 5-x-(z-0)5-z013-20 z-如,, 1+ )2+…+(~0)+…(2) 故()=S()(2-x 0 =∑5 )(x o)”-()得证! n=0
1 ( ) ( ) (2) 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 + − − + + − − + − − + − = − n z z z z z z z z z z z , 1 1 1 ( ) 1 1 0 0 0 0 0 z z z z z z z z − − − − = − − − = − 注意到 1, 0 0 = − − q z z z = − − − = − 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n z z z z f z f 故 n ---(*)得证！ n n z z z f ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 − − = = +
证明设k:5-=,{51-z≤rcD, (不讲) 为k内任一点由Cchy积分公式 f(x)=16f(5) q<1 2muik5-a 0 5-z5--(z-z0)5-01_-x 0 z-孔 3-02 z-5 )"+…](3)
证明 (不讲) − = − = − k d z f i f z z k Cauchy k z r z r D ( ) 2 1 ( ) , : : ,{ } , 0 0 为 内任一点由 积分公式 设 1, 0 0 = − − q z z z 0 0 0 0 0 1 1 1 ( ) 1 1 z z z z z z z z − − − − = − − − = − ( ) ] (3) [1 ( ) 1 0 0 2 0 0 0 0 0 + − − + + − − + − − + − = n z z z z z z z z z z
(不讲)两端乘以() 2a,沿着逐项积分得 1 f(s) ∫() 2ruijks -z rui ks -zo z-0rf(5) 2zui Jk(5-zo) ds+ (z-x0)"r∫() 1l5+ 2mk(5-z0 n+1 f(z)+f(zn)+…+,(z-zn)”+…(4) 函数f(z)在处的Taor级数
函 数 在 处 的 级 数 两端乘以 沿 着 逐项积分得 f z z Talor z z n f z f z f z d z f i z z d z f i z z d z f i d z f i f z k i f n n k n n k k k 0 0 0 ( ) 0 0 1 0 0 2 0 0 0 ( ) ( ) (4) ! ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 2 1 ( ) , , 2 ( ) − − = + + + − + + − − + + − − + − = − = + (不讲)
级数(4的收敛范围是以为中心,r为半径 的圆域5-0<r,圆的半径可以任意增大 只要圆k及其内部包含在内即可,;∫(z)在 解析点z处的 Taylor级数收敛半径至少等于 从z到D的边界上各点的最短路证毕 证明 (不讲)
. ! , ( ) , , (4) 0 0 0 0 从 到 的边界上各点的最短距离 证 毕 解析点 处 的 级数收敛半径至少等于 只要圆 及其内部包含在 内即可 在 的圆域 圆 的半径 可以任意增大 级 数 的收敛范围是以 为中心， 为半径 z D z Taylor k D f z z r k r z r − 证明 (不讲)
(1)若f(x)奇点,那么f(x)在解析点 zn的Taor展开式的收敛半等于从z到 f(z)的最近的一个奇点之间的距离即, R (2)a在收敛圆上这是因为(z)在收敛 圆内解析所以奇点a不可能在收敛圆内 又∵:奇点a不可能在收敛圆外不然的话, 收敛半径还可以扩大,因此奇点a只能在 收敛圆周上
收敛圆周上. 收敛半径还可以扩 只能在 又 奇 点 不可能在收敛圆外,不然的话, 圆内解析 所以奇点 不可能在收敛圆内. 在收敛圆上,这是因为 在收敛 大 ,因此,奇 点 , (2) f (z) = 0 − 0 0 ( ) , ( ) ( ) R z f z z Talor R z f z f z 的最近的一个奇点 之间的距离,即 的 展开式的收敛半径 等于从 到 (1) 若 有奇点, 那 么 在解析点