第六章、数值微分与数值积分 数值微分 1、差商型求导公式 由导数定义f(x)=lim f(x+h-f(x) h→>0 h (1)向前差商公式 ∫(x)≈f(x+h)-f(x) h 2)向后差商公式 B f(x f(x)-f(x-h h (3)中心差商公式(中点方法) X-h th (x)≈f(x+h)-f(x-h) 2h
第六章、数值微分与数值积分 数 值 微 分 ' 0 1 ( ) ( ) ( ) limh f x h f x f x → h + − = 、差商型求导公式 由导数定义 ' ' ' 1 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 f x h f x f x h f x f x h f x h f x h f x h f x h + − − − + − − （）向前差商公式 （ ）向后差商公式 （ ）中心差商公式 （中点方法 ） x-h x x+h B C A T f(x)
差商型求导公式的余项 由 Taylor公式 f厂(x)-f(x+h)-f(x) f(x+0h h=och) h f(x) f(x-f(x-h) f(x-02h) h=och) h f(x)f(x+h)-f(x-h 2h f3(x+h)+f(3(x-b2h),2 h2=O(h2) 0<O1,0<1 从截断误差的角度看,步长越小,计算结果越准确; 从舍入误差的角度来看,步长不宜太小
差商型求导公式的余项 " ' 1 " ' 2 ' (3) (3) 1 2 2 2 1 2 Taylor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 6 0 , 1 f x h f x f x h f x h O h h f x f x h f x h f x h O h h f x h f x h f x h f x h f x h h O h + − + − = − = − − − − = = + − − − + + − = − = 由 公式 从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确； 从舍入误差的角度来看，步长不宜太小
2、插值型求导公式 若已知函数f(x)在[a,b]n+1个节点(x,f(x) (=0,1,…,n),可用其插值多项式P(x)的导数近 似函数f(x)的导数 由Rn(x)=f(x)-P(x)」(+( (n+1 →f(x)-Pn(x) an+I(x)+n+(x)d (n+1) (5) (n+1) (n+1)!ax 对任意x∈{a,b,因未知,故上式很难估计误差, 但若只求某个节点上的导数值,误差可估计 (n+1 f(x,)-P2(x)= n (n+1) (n+1)! II(x-x) 因此,插值型求导公式通常用于求节点处导数的近似值
2、插值型求导公式 ( ) [ , ] 1 ( , ( )) ( 0,1, , ) ( ) i i f x a b n x f x i n f x + = n 若已知函数 在 内 个节点 ，可用其插值多项式P (x)的导数近 似函数 的导数。 ( 1) 1 ( 1) ' ' ' ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! ( 1)! n n n n n n n n n f R x f x P x x n f d x f x P x x f n n dx + + + + + + = − = + − = + + + 由 ( 1) ( 1) ' ' ' 1 0 [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! ( 1)! n n n n i n i i i j j j i x a b f f f x P x x x x n n + + + = − = = − + + 对任意 ，因 未知，故上式很难估计误差， 但若只求某个节点上的导数值，误差可估计。 因此，插值型求导公式通常用于求节点处导数的近似值
两点公式 设给出两节点(x,f(x0),(x1,f(x1)记x1-x0=h 有 B1(x) f(x1) →B(x)=[-f(x)+f(x) →(x)=1[(x1)-/(x), (x1)=,[f(x1)-f(x)] 带余项的两点公式是: f(x0)=[f(x1)-f(x)f(与1) 几 2 f(x1)=[f(x1)-f(x)+f(2)
两 点 公 式 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 ' 1 0 1 ( , ( )),( , ( )), ( ) ( ) ( ). 1 ( ) [ ( ) ( )] x f x x f x x x h x x x x P x f x f x x x x x P x f x f x h − = − − = + − − = − + 设给出两节点 记 有 ' 1 0 1 0 ' 1 1 1 0 ' " 0 1 0 1 ' " 1 1 0 2 1 ( ) [ ( ) ( )], 1 ( ) [ ( ) ( )] 1 ( ) [ ( ) ( )] ( ), 2 1 ( ) [ ( ) ( )] ( ). 2 P x f x f x h P x f x f x h h f x f x f x f h h f x f x f x f h = − = − = − − = − + ； 带余项的两点公式是：
三点公式 设已给出三个节点x,x1=x0+h,x2=x+2h上的 函数值 x-x(x-x P2(x) f(x0) (x-x1)(x-x2) (x-x0)(x-x2) f(x1)+ (x-x0)(x-x1) f∫(x2) (x2-x0(x2-x1 令x=x0+hn,则 P2(x0+th)=(t-1)(t-2)f(x0)-1(-2)f(x1) +=(t-1)f(x2)2
三 点 公 式 0 1 0 2 0 1 2 2 0 0 1 0 2 0 2 0 1 1 2 1 0 1 2 2 0 2 1 0 2 0 0 1 2 , , 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ), ( )( ) ( )( ) , 1 ( ) ( 1)( 2) ( ) ( 2) ( ) 2 1 ( 1) ( 2 x x x h x x h x x x x P x f x x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x th P x th t t f x t t f x t t f x = + = + − − = − − − − − − + + − − − − = + + = − − − − + − 设已给出三个节点 上的 函数值 令 则 )
上式对t求导:B2(x0+m)、1 (2t-3)f(xo) 2h (4t-4f(x1)+(2t-1)f(x2) →P2(x0) [-3f(x)+4f(x1)-f(x2) 2h [-f(xo)+f(x2) 中点公式) 2h 1 [f(x)-4f(x1)+3/(x2)] 2h 带余项的三点求导公式: f(x)=,[-3f(x0)+4f(x)-f(x2)+f(5) 2h 3 f(x)=n,[-f(x0)+f(x2)—f(5)(中点公式) f(x2)=,[f(x)-4f(x)+3f(x2)+f(5)
' 2 0 0 1 2 ' 2 0 0 1 2 ' 2 1 0 2 ' 2 2 0 1 2 1 ( ) [(2 3) ( ) 2 (4 4) ( ) (2 1) ( )]. 1 ( ) [ 3 ( ) 4 ( ) ( )]; 2 1 ( ) [ ( ) ( )]; 2 1 ( ) [ ( ) 4 ( ) 3 ( )]. 2 t P x th t f x h t f x t f x P x f x f x f x h P x f x f x h P x f x f x f x h + = − − − + − = − + − = − + = − 上式对 求导： （中点公式） ＋ 2 ' "' 0 0 1 2 2 ' "' 1 0 2 2 ' "' 2 0 1 2 1 ( ) [ 3 ( ) 4 ( ) ( )] ( ); 2 3 1 ( ) [ ( ) ( )] ( ); 2 6 1 ( ) [ ( ) 4 ( ) 3 ( )] ( ). 2 3 h f x f x f x f x f h h f x f x f x f h h f x f x f x f x f h = − + − + = − + − = − + 带余项的三点求导公式： （中点公式） ＋
可利用插值多项式,建立高阶数值微分公式: f≈Pm(x)2k=1,2, 例:对P(xn+th)2t-3)f(x) (4t-4)f(x1)+(2t-1)f(x2)再对t求导, 有P(x+h)=2((x)2-2(x)+f(x) →P2(x1)=n2(f(x1-h)-2f(x1)+f(x1+h) 带余项的二阶三点公式: f(x)=n2[f(x1-h)-2f(x1)+f(x1+)-,f4() 12 同样,针对m也可扩展,如五点插值求积公式
( ) ( ) ( ), 1,2, k k m f P x k = 可利用插值多项式，建立高阶数值微分公式： ' 2 0 0 1 2 " 2 0 0 1 2 2 " 2 1 1 1 1 2 2 " (4) 1 1 1 1 2 1 ( ) [(2 3) ( ) 2 (4 4) ( ) (2 1) ( )]. 1 ( ) ( ( ) 2 ( ) ( )], 1 ( ) ( ( ) 2 ( ) ( )], 1 ( ) [ ( ) 2 ( ) ( )] ( ). 12 P x th t f x h t f x t f x t P x th f x f x f x h P x f x h f x f x h h h f x f x h f x f x h f h + = − − − + − + = − + = − − + + = − − + + − 例：对 再对 求导， 有 带余项的二阶三点公式： 同样，针对m也可扩展，如五点插值求积公式
3、样条求导 三次样条函数S(x)及其一、二阶导数均一致收敛于 被插值函数f(x)及其一、二阶导数,故用样条函数的 导数近似函数导数 f(x)≈S()(x)(k=1,2,…) 不仅可靠性好,且可计算非节点处导数的近似值 其截断误差为:f()(x)-S()(x)=O(h4k) 对等距划分a=x0<x1<…<xn=b,且xk1-xk=h 三次样条S3(x)在节点上的导数值S(xk)=m2满足下列 连续性方程组 m21+4mk+mk+1=3(yk+1-yk-1)/h 在给定一类边界条件下,求解方程组得出的m即可 作为导数f(x)的近似值
3、 样 条 求 导 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1,2, ) ( ) ( ) ( ). k k k k k S x f x f x S x k f x S x O h − = − = 三次样条函数 及其一、二阶导数均一致收敛于 被插值函数 及其一、二阶导数，故用样条函数的 导数近似函数导数 不仅可靠性好，且可计算非节点处导数的近似值。 其截断误差为： 0 1 1 3 1 1 1 1 ' , , ( ) ( ) 4 3( ) / . ( ) n k k k k k k k k k k k a x x x b x x h S x S x m m m m y y h m f x + − + + − = = − = = + + = − 对等距划分 且 三次样条 在节点上的导数值 满足下列 连续性方程组 在给定一类边界条件下，求解方程组得出的 即可 作为导数 的近似值
数值积分 f(x)的原函数不存在或不适宜计算, 只有f(x)的离散数据点 求(f)=x)d的近似数值 E=(x) 1()即时·居素 I()=1( 爆择:想幕剑…}→1 fn(x)常取插值或分段插值多项式
数值积分 I( f ) f ( x )dx . f ( x ) f ( x ) ; b a 求 的近似数值 只有 的离散数据点 的原函数不存在或不适宜计算 = 1 2 { , , , } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I b n n a b n n a f x dx I f f f x f x dx f f f f E → = = − 简单想法： 用简单函数序列 作为 的近似值，误差： f n ( x ) 常取插值或分段插值多项式
§1.插值型求积公式 P(x)是f(x)的插值多项式: b P(x)≈f(x)→f(x≈P(xb C (一)过ab两点:fx)≈P b f(b)+fla b-a b X-d /()≈ (b./×x-b 阶b f(la)+f(b)) b 称梯形公式y y=f(x)x∠y=P1(x) 直边梯形代替曲边梯形
§1. 插值型求积公式 P( x ) f ( x ) f ( x )dx P( x )dx P( x ) f ( x ) b a b a ∫ ≈ → ∫ ≈ 是 的插值多项式： 1 b a ( ) 2 x a x b ( ) a,b : f(x) (x) f(b) f(a) b a a b x - a x b b a I f f(b) f(a) dx (f(a) f(b)) b - a a b P − − = + − − − − + = + − 一 过 两点 y=P1 () 直边梯形代替曲边梯形 y=f() 称梯形公式 y 0