第十讲 唯一决定分式线性映射的条件
第十讲 唯一决定分式线性映射的条件
§3唯一决定分式线性映射的条件 口1.分式线性哄射的存在唯一性 m2.举例
1. 分式线性映射的存在唯一性 2. 举例 §3 唯一决定分式线性映射的条件
1分式线性映射的存在唯一性 虽然=B+b含有,,m个常数实际只 cz+d 有三个是独立的 所以只需给定三个条件就能决定一个分式 线性映射我们有: 定理在z平面上任意给定三个样异的点1,2,3 在w平面上也任意给定三异的点w1,w2,wy3 →存在唯一的分式线性时f(z): f:z->v(k=1,3)
. , , , , 有三个是独立的 虽 然 含 有a b c d四个常数 实际只 cz d az b w + + = , : , , 线性映射 我们有 所 以 只需给定三个条件就能决定一个分式 : ( 1,2,3) ( ): , , , , , 1 2 3 1 2 3 ⎯→ = f z w k f z w w w w z z z z k f k 存在唯一的分式线性映射 在 平面上也任意给定三个相异的点 定理 在 平面上任意给定三个相异的点 1. 分式线性映射的存在唯一性
证明袭、m+b 國+(d-b≠0将x2(k=123)依次 →>wA(k=12,3,即wk= 1+b k=1,2,3) Cz +d k 而有 (z-乙 儿(a bc) (C+d)(Cz +d) (k=1,2) (z3 -zk(ad-bc) (k=1,2) (Cz3+d)(czk+d) w-w, (z- ad=bc)(cik )(,+d)i-Z(cz,+d) -"2(axw)cx+d)(z-x2)am-bk)z-2(cx+l
( 1,2,3), ( 1,2,3) ( 0), ( 1,2,3) = + + → = = − = + + = k cz d az b w k w ad bc z k cz d az b w k k k k k 即 证明 设 将 依 次 ,( 1,2) ( )( ) ( )( ) = + + − − − = k cz d cz d z z ad bc w w k k 因而有 k ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 cz d cz d z z z z z z ad bc cz d cz d cz d cz d z z ad bc w w w w + + − − = − − + + + + − − = − − ,( 1,2) ( )( ) ( )( ) 3 3 3 = + + − − − = k cz d cz d z z ad bc w w k k k
同理-3-3 (Cz2+d) 2(c1+d) 所求分式线性映射 故 v-形M W,z-孔13 W-WW3-W1-2) ④式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。 ②点 19 22 943 由(D>点w 且等式两边依次同时变为,∞ ③式(1)左端的式子通常称为个点 w,w1,w2,w3的交比cros-rtio) 因此,式(1)说明分式线性映射具有保交比不变性
(1) 3 1 3 2 2 1 3 1 3 2 2 1 − − − − − − = − − − − z z z z z z z z w w w w w w w w 故 3 2 3 1 3 2 3 1 z z z z w w w w − − = − − 同理 ( ) ( ) 1 2 cz d cz d + + ① 式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。 0, ,1. , , 1 2 3 (1) 1 2 3 ⎯ ⎯→ 等式两边依次同时变为 由 且 ② 点 z z z 点w ，w ，w , , , ( ). (1) 1 2 3 w w w w 的交比 cross − ratio ③式 左端的式子通常称为四个 点 ~~~~~~~~~~~~ 所求分式线性映射 因此，式(1)说明分式线性映射具有保交比不变性
由分式线性映射的存在唯一性定理知: 在已知圆周和C上分别取定三个不同 点以后必存在分式线性映射将C-F>C 以下讨论这个映射会把C的内部映射成什么? C将x平面划分为两个区域内部为d1,外部为d2 它的象C"把w平面分为内韶1,外部D2,则可以断 定d的象F(1)必然是D1,D2中的一个,而d2的象 F(d2)是D1和D2中的另一个(不可能把d1的部分映 入D1,d1的另一部分映入D2)
, '. ' F C C C C 点以后 必存在分式线性映射 将 ⎯F → 在已知圆周 和 上分别取定三个不同 由分式线性映射的存在唯一性定理知： 以下讨论这个映射会把C的内部映射成什么？ 是 和 中的另一个 定 的 象 必然是 中的一个 而 的 象 它的象 把 平面分为内部 外 部 则可以断 将 平面划分为两个区域内部为 外部为 ， 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) , , ' , , : , F d D D d F d D D d C w D D C z d d (不可能把d1的部分映 入D1，d1的另一部分映入D2 )
事实上, 设z1,z2∈d1,若线段x12→圆弧w1形2(或直线段v,w2 且w∈D2,w2∈D1→弧ww2必与C"交于一点Q∈C", 它一定是C上某点的象由假设Q又是x1z2上某一点的 象,就有两个不同的点一个在圆C上,另一在线段 x1z2上)被映射为同一点 这与分式线性映射的一对应性相矛盾
, ' ' , , , ( , ), 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 w D w D w w C Q C z z d z z w w w w F → 且 弧 必 与 交于一点 设 若线段 圆 弧 或直线段 ⌒ ⌒ ) . z1 z2 上 被映射为同一点 事实上， d1 d2 F → D1 C C' D2 2 z 1 z w2 w1 Q 这与分式线性映射的一一对应性相矛盾! 象 就有两个不同的点一个在圆周 上 另一在线段 它一定是 上某点的象由假设 又 是 上某一点的 , ( , , 1 2 C C Q z z
由以上讨论给出确定对应区域的两个方法: (1)z∈d1,若wo=F(zo)∈D1→l1→D; 否则若=F(z0)∈D2→d1→D2 (2)x1,z23C,则w1=F(z1),形2=F(z2) W3=F(x3)∈C 若C依1→z2→的绕向与C依形1→2→w3的 绕向相同时那么d1-D1,反之d1→D2 (沿曲线方向绕行时在观察者左方的区域
( ) ' (2) , , , ( ), ( ), 3 3 1 2 3 1 1 2 2 w F z C z z z C w F z w F z = 则 = = , ( ) . (1) , ( ) ; 0 0 2 1 2 0 1 0 0 1 1 1 w F z D d D z d w F z D d D F F = → = → 否 则 若 若 由以上讨论给出确定对应区域的两个方法： ( , ) , , 1 1 1 2 1 2 3 ' 1 2 3 沿曲线方向绕行时在观察者左方的区域 绕向相同时 那 么 反 之 若 依 的绕向与 依 的 d D d D C z z z C w w w ⎯F → ⎯F → → → → →
事实上过作C的一段法线1z01zcl1,于是, 顺着1→>z2→>3看,1在观察者的左方象F(x1x) 是过1,并与C"正交的一段圆弧或者直线段 由于在乙的保角性顺着w1,w2,w3看,F(x1x)也 应在观察者的左方∷d1—→D1;反之d-FD D GI E D
d1 d2 C D2 D1 C' F → 事实上 , ; , , , , ( ) 1 1 1 1 2 3 1 d D z w w w F z z 应在观察者的左方 ⎯F → 由于在 的保角性 顺 着 看 也 , , 过z1 作C的一段法线z1 z z1 z d1 于 是 , ' ( ) , , ( ) 1 1 2 3 1 1 是 过 并 与 正交的一段圆弧或者直线段 顺 着 看 在观察者的左方象 w C z → z → z z z F z z d1 D2 反之 ⎯F → 2 z 1 z 3 z z w2 w1 w3 w
由上一节和本节的讨论,还有以下结论: ()当二圆周上没有点映射无穷远点时这二 圆周的弧所围成的区域F>二圆弧所围成的 区域; ①当二圆周上有一个点眺成∞点时,这二 圆周的弧所围成的区域f一圆弧与 直线所围成的区域 (Ⅲ当二圆周交点中的一个「>∞点时,这二 圆周的弧所围成区域F>角形区域
. ( ) , 圆周的弧所围成区域 角形区域 Ⅲ 当二圆周交点中的一个 点 时 这 二 ⎯→ ⎯→ F F ; ( ) , 直线所围成的区域 圆周的弧所围成的区域 一圆弧与一 Ⅱ当二圆周上有一个点映射 成 点 时 这 二 ⎯→ F ; ( ) , 区 域 圆周的弧所围成的区域 二圆弧所围成的 Ⅰ当二圆周上没有点映射成无穷远点时这 二 ⎯F → 由上一节和本节的讨论，还有以下结论：