第八讲留数
第八讲 留数
§5.孤立奇点 1.定义 m2.分类 口3.性质 口4.零点与极点的关系
1. 定义 2. 分类 3. 性质 4. 零点与极点的关系 §5.1 孤立奇点
1.定义 定义若f(z)在z处不解析,但在乙的某个去心邻域 0<z-0<内解析则称为f(x)孤立奇点 例如f(z)=e--x=0为孤立奇点 ∫(x) -1--z=1为孤立奇点 f∫(z)= SIn z=0及z=1m兀(n=土1,±2,)都是它的奇点
1. 定义 例如 z f z e 1 ( ) = ----z=0为孤立奇点 z f z 1 sin 1 ( ) = ----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点 1 1 ( ) − = z f z ----z=1为孤立奇点 定义 0 , ( ) . ( ) , 0 0 0 0 内解析 则 称 为 的孤立奇点 若 在 处不解析 但 在 的某个去心邻域 z z z f z f z z z − ~~~~~~~~~
但∵lim-=0,在z=0不论多么小的去心 n-→>0n兀 邻域内总有(z)的奇点存在 故z=0不是 SIn 的孤立奇点。 这说明奇点未 必是孤立的
x y o 这说明奇点未 必是孤立的。 邻域内 总 有 的奇点存在， 但 在 不论多么小的去心 , ( ) 0, 0 1 lim f z z n n = = → 的孤立奇点。 故 不 是 z z 1 sin 1 = 0
2.分类 以下将f(4)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数,根 据展开式的不同情况,将孤立点进行分类。考察 2n SInz = ×亡 +(-1) 5 (2n+1) 特点:没有负幂次项 、 +0n 00,n e ∑=∑ 1+一+…十 H=0 / n=0 特点:只有有限多个负幂次项 (3)e2=1+x1+x2+…+z"+… 2! 特点:有无穷多个负幂次项
2. 分类 以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察： + + = − + − + − (2 1)! ( 1) 3! 5! 1 sin (1) 2 4 2 n z z z z z n n 特点：没有负幂次项 = = = + + ++ + + − = + − = 2! ! 1 1 ! ! 1 (2) 1 0 1 0 n z z n z z n z z z e n n n n z n 特点：只有有限多个负幂次项 = + − + − ++ z −n + n e z z z ! 1 2! 1 (3) 1 1 2 1 特点：有无穷多个负幂次项
定义设动是f(x的一个孤立奇点,在a的去心邻域内, 若f(z)的洛朗级数 ()f(x)=∑c1(z-) =0 没有负幂次项,称z=为可去奇点; (i)f(x)=∑cn(z-x0)(cm≠0,m≥1 =一 只有有限多个负幂次项,称z=为m级极点; (i)f(x)=∑cn(z-x) 有无穷多个负幂次项,称乙=动为本性奇点
定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内， 若f (z)的洛朗级数 = = − 0 0 ( ) ( ) ( ) n n n i f z c z z 没有负幂次项，称z=z0为可去奇点; ( ) ( ) ( ) ( 0, 1) = − 0 − =− i i f z c z z c m m n m n n 只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 级极点; =− = − n n n (iii) f (z) c (z z ) 0 有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。 ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~
3.性质 口若为f(的可去奇点 ∫(z)=∑cn(x-x)lmf(z)=co n=0 补充定义:f(z0)=co∫(z)在乙解析 若x为f(的mm≥1)级极点 台f(z)=∑cn(z-x)(cm≠0,m≥1) 1=- 令limf()=ef(z)= →>0 (z-)8(2)
3. 性质 ( ) ( ) . 补充定义：f z0 = c0 f z 在z0 解 析 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) 0 f z c z z f z c z z n n = n − = → + = ❑ 若z0为f (z)的可去奇点 ( ) ( ) ( 0, 1 ) = − 0 − + =− f z c z z c m m n m n n ❑ 若z0为f (z)的m (m 1) 级极点 ( ) ( ) 1 lim ( ) ( ) 0 0 g z z z f z f z m z z − = = →
其中:g(z)=Cm+cm1(z-z)+Cm2(z-xm)2+ g(x)在z-x<内是解析函数里g(xn)≠0 例如:f(x)=2 3z+2 (z2+1z-1)4 z=1为f(z)的一个三级极点,z=士i为f()的一级极点 口若a为f()的本性奇点 兮f(z)的洛朗级数有无穷多项幂次项 兮limf(z)不存在,也不为
( ) ( ) 0. : ( ) ( ) ( ) , 0 0 2 1 0 2 0 − = − + − + − + − + − + g z z z g z g z c c z z c z z m m m 在 内是解析函数且 其 中 2 4 2 ( 1)( 1) 3 2 ( ) + − − + = z z z z 例如： f z z=1为f (z)的一个三级极点， z=i为f (z)的一级极点。 → 不存在，也不为 的洛朗级数有无穷多项负幂次项 lim ( ) ( ) f z f z n ❑ 若z0为f (z)的本性奇点
4.零点与极点的差系 定义不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成 f∫(x)=(x-x)"g(z) 其中:q(z0)≠0,q(z)在x点解析,m∈N 则称z=x为f(x)的m级零点。 例如:z=0与z=1分别是(z)=(z-1)的一级 与三级零点
4. 零点与极点的关系 定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成 ( ) ( ) ( ) 0 f z z z z m = − 其中：(z0 ) 0,(z)在z0 点解析,m N 则称z=z0为f (z) 的m 级零点。 与三级零点。 例如： z = 0与z = 1分别是f (z) = z(z −1) 3 的一级
定理f(z)=(z-a)p(x) (q(z0)≠0,g(z)在z点解析,m∈N) 台∫(xa)=0n=0,1,2,…,m-1)fm(zn)≠0 事实上,∵(x)=∑c1(z-n)”co=(n)≠0 =0 f()=∑cn(z-)+m 0 由 Taylor级数的系数公式有 f("(xao)=0(n=0,1,2,…,m-1) 而 ∫(0=关0必要性得证!充分性略! m
( ) ( ) 0 ( 0 ) 0 0 = − 0 = + = z c z z c z n n n ( ( ) 0, ( ) , ) z0 z 在z0 点解析 m N ( ) 0( 0,1,2, , 1) ( ) 0. ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 = = − = − f z n m f z f z z z z n m m 定理 事实上， 必要性得证！ + = + = − 0 0 ( ) ( ) n n m n f z c z z 0 ! ( ) ( ) 0 ( 0,1,2, , 1), : 0 0 ( ) 0 ( ) = = = − c m f z f z n m Taylor m n 而 由 级数的系数公式有 充分性略！