第八章常微分方程数值解法 51、引言 阶常微分方程的初值问题: 女=1(x,y)a5x≤b y 例:方程xy-2y=4x 2y+ 令:敢(x2y)=1+4且给出初值y(1)=3 就得到一阶常微分方程的初值问题: 1ax=(x,y)3 d y(1)=-3
第八章 常微分方程数值解法 §1 、引言 0 0 : ( , ) ( ) dy f x y a x b dx y x y = = 一阶常微分方程的初值问题 ' ' : xy -2y=4x y = f(x,y)= y(1)=-3 ( , ) ( ) 2 y 4 x 2 y 4 x dy 2 y f x y 4 dx x y 1 3 + + = = + = − 例 方程 令： 且给出初值 就得到一阶常微分方程的初值问题：
只要函数f(x2y)适当光滑连续,且关于y满足李普 希兹( Lipschitz)条件,即存在常数L,使得 f(x,y)-f(x,y)≤Ly-y 由常微分方程理论知,初值问题的解必存在且唯 微分方程的数值解:设方程问题的解yx)的存在区间 是b,令a=xx1…<xn=b,其中hk=xk+rxk,如是等距 节点h=(ba)m,h称为步长。 y(a的解析表达式不容易得到或根本无法得到,我们用数 值方法求得y在每个节点xk上yx的近似值,用y表示, yk≈(,这样y,y1x…n称为微分方程的数值解
( , ) L ( , ) ( , ) f x y f x y f x y L y y − − 只要函数 适当光滑连续，且关于y满足李普 希兹(Lipschitz)条件，即存在常数 ，使得 由常微分方程理论知，初值问题的解必存在且唯一。 微分方程的数值解：设方程问题的解y(x)的存在区间 是[a,b]，令a= x0< x1<…< xn =b,其中hk=xk+1-xk , 如是等距 节点h=(b-a)/n , h称为步长。 y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数 值方法求得y(x)在每个节点xk上y(xk )的近似值，用yk表示， 即yk≈y(xk )，这样y0 , y1 ,...,yn称为微分方程的数值解
微分方程离散化常用方法 A·用差商代替微商 v(xns)-yIxnl=f(x,, y(x,)) y Xn+n 用h=xm-x,yy(x,yn≈y(xn)代替,则 h flx, y y=y+hfh,,y)n=0,1, 2
微分方程离散化常用方法 ( ) ( ) ( ) 1 1 , A ( , ( )) n n n n n n n n y y f x y x x y dy x x dx x x + + − = = − 用差商代替微商 ( ) ( ) ( ) ( , ) 0,1, 2, , , , 1 1 1 1 1 = + = = − = − + + + + + hf n f h h y y y y x y x y y y x x y x y x n n n n n n n n n n n n 用 n n 代替，则：
B.数值积分 用数值积分方法离散化 n+1 n+1 D- f(,, ydx (n=0 dx 用yn+1,yn代替y(xn+),y(xn)对右端积分来用 取左端点的矩形公式 f(x,y)x≈hf(xn,yn) 则有 yn+1-yn=hf(xn,yn)(n=0,1,……)
1 1 B. : ( , ) ( 0, 1, ) n n n n x x x x dydx f x y dx n dx + + = = 数值积分 用数值积分方法离散化 1 1 1 1 , ( ), ( ), ( , ) ( , ) ( , ) ( 0,1, ) n n n n n n x n n x n n n n y y y x y x f x y dx h f x y y y hf x y n + + + + − = = 用 代替 对右端积分采用 取左端点的矩形公式 则有
C·在x,附近y(x)的7 aylor展开: y(xn+h)=y(xm)+hy(xm)+y(xm)+ y(xn)+hf(xmy(xn)+oy(xn)+ f(x,y)a≤x≤b y(Xo)=y 取h的线性部分,且y≈y(xn)得y(xm)的近似值: ymy+h(ny n=0, 1,2, 7aylo展开法不仅可得到求数值解的公式,且容易估计 截断误差
2 / // 2 // C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( , ( )) ( ) 2 n n n n n n n n n y x Taylor y h y h y hf y x h x x x x y y h x x x x y + = + + + = + + + 在 附近 的 展开： 1 1 ( ) ( ) ( , ) 0, 1, 2, n n n n n n n h y y hf n Taylor y x x y y y x + + = + = 取 的线性部分，且 得 的近似值： 展开法不仅可得到求数值解的公式，且容易估计 截断误差。 0 0 ( , ) ( ) dy f x y a x b dx y x y = =
§2尤拉(Euar)方法 Eer公式 计算公式 f(x,y)asxsb ym=y+h(x, y)n=0,1. )=y yao=y ,几何意义。 由(xmy)出发取曲线y=y(x)的切线(存在!),则斜率 =sxo yo 由于 (xo yo 已知,必有切线方程
§2 尤拉（Eular)方法 ( ) 1 0 0 0 0 ( , ) , 0 1, ( ) ( ) n n n n Euler dy f x y a x b hf n , dx y y y y y x y x y x + = = + = = = 一、 公式 计算公式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 1 , , f , , y y x f x y x y dy x y dx x x y y = = ，几何意义。 由 出发取曲线 的切线（存在！），则 斜率 由于 及 已知，必有切线方程
由点斜式写出切线方程: y=y+(x-xo y+(x-xo)f(xo,y) 等步长为h,则x-x0=h,可由切线算出y V=1+hf o (x0,y 逐步计算出y=y(x)在x,点值 y-y+hf n, y) n=0, 1, 2, 注意:这是“折线法”而非“切线法” 除第一个点是曲线切线外,其他点不是!
( ) ( ) y x y ( x x )f ( x , y ) dx dy y x x ,y 0 0 0 0 0 0 0 0 = + − = + − 由点斜式写出切线方程： （ ） 等步长为 ，则 ，可由切线算出 ： y y x ，y x x y hf h h 0 0 1 0 1 1 0 = + − = 0 1 2 1 1 （ ） ，，， 逐步计算出 （ ）在 ，点值 ： = + ， = = + + hf n y y x y y x y x n n n n n 注意：这是“折线法”而非“切线法” 除第一个点是曲线切线外，其他点不是！ y χ0 χ1χ2 χ3 χ
2、 Euler方法的误差估计 1)局部截断误差 在一步中产生的误差而非累积误差: 其中y是当y=y(x)(精确解!)时 n+1 由Eler法求出的值,即1无误差! 将y(xn)在x点7ayor展开: yOn)=y(x,+h)=y(x,)+hf(xn, y(x,))+ 2(5) <c<
2、Euler方法的误差估计 ( ) 1 1 1 1 1) ~ ~ ( ) n n n n n n n y y Euler T x y y x y y + + + + = − = 局部截断误差。 在一步中产生的误差而非累积误差： 其中 （精确解！）时 由 法求出的值，即 无误差！ 是当 ( ) y ( ) x x h x x x x x x x n n n n n n n n n y y h y hf y y Taylor 1 / / 2 1 1 2 ( ) ( ) ( , ( )) ( ) + + + + = + = + + 将 在 点 展开：
yn,+hf(x, yn,) n+1 y(x +hf(x, y(x) 则T y xXn n+1 令M2=mxy(x)y(x)充分光滑,则 b Tn≤M h O
( ) ( ( )) ( ) ( ) 1 1 2 // 1 1 1 1 ~ , ~ ( ) , ~ 2 n n n n n n n n n n n n n y hf y y hf y y x y x x x y h T x x x y y + + + + + + = + = + 则 = − = ( h ) h T M M y O x y x n a x b 2 2 1 2 / / 2 2 max ( ), ( ) = = + 令 充分光滑，则：
3、总体方法误差() 递推方法:从任意两相邻步的总体误差关系 推出总体误差与步长的关系。 由微分方程解的存在唯一性自然假定f(x,y) 充分光滑,或满足 Lipschitz条件: f,(x)-fGx, y)Ly(x)-y 第n步的总体截断误差记为en=(x)-y。则对n+1步 以下估计 其中 n+
3、 总体方法误差(1) (x (x )) (x y ) (x ) yn n n f n , y n f n , L y Lipschitz , f x y − − 充分光滑，或满足 条件： 由微分方程解的存在唯一性自然假定 （ ， ） 推出总体误差与步长的关系。 递推方法：从任意两相邻步的总体误差关系 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 ~ ~ ~ ~ ~ , n n n n n n n n n n n n n n n n n n n y n y y y hf y e x y e x x y y y y y y T y x x x y y + + + + + + + + + + + + + = − + = − − + − = + − − = + 第 步的总体截断误差记为 则对 步： 以下估计 其中