§3函数平方逼近 用均方误差最小作为度量标 准,研究函数f(x)∈(ab]的逼近多项 式,就是最佳平方逼近问题。 若存在P(x)∈Hn,使 I-Pill . U(x)-P:()dx=nfll-pl P"(x)就是f(x)在ab]上的最佳平 方逼近多项式。 定义设在区间(a,b)上非负函 数O(x),满足条件 ∫。"p(x)dx存在 (n=0,1
§3 函数平方逼近 用均方误差最小作为度量标 准，研究函数 f (x) C[a,b] 的逼近多项 式，就是最佳平方逼近问题。 若存在 n Hn P (x) * ，使 * * 2 2 2 [ ( ) ( )] d inf b n n a P H f P f x P x x f P − = − = − ， ( ) * P x n 就是 f (x) 在 [a,b] 上的最佳平 方逼近多项式。 定义 设在区间 (a,b) 上非负函 数 (x) ，满足条件： 1 ） x x x n b a ( )d 存 在 (n = 0, 1, ) ；
2)对非负的连续函数g(x),若 g(p(dx=o 则在(a2b)上g(x)≡0,就称(x)为 区间(a2b)上的权函数。 对f(x)eCa,b及Ca,b中的 个子集=span{o,1…n},若存 在 S"(x)∈φ, 使 -S"=m-S:=p(x/().x 则称S(x)是f(x)在子集cCla,b中 的最佳平方逼近函数。 令x)=249(),求S(x)等价于求
2） 对非负的连续函数 g(x) ，若 ( ) ( )d = 0 g x x x b a ， 则在 (a,b) 上 g(x) 0 ，就称 (x) 为 区间 (a,b) 上的权函数。 对 f (x) C[a,b] 及 C[a,b] 中的一 个子集 span{ , , , } = 0 1 n ，若存 在 ( ) * S x ，使 f S f S x f x S x x b S S a inf inf ( )[ ( ) ( )] d 2 2 2 2 2 * − = − = − 则称 ( ) * S x 是 f (x) 在子集 C[a,b] 中 的最佳平方逼近函数。 令 0 ( ) ( ) n j j j S x a x = = ,求 ( ) * S x 等价于求
多元函数 ∑ (na,…a)=」。p(x) /=0, (x)-f(x)f dx 的最小值。P(x)为权函数。 由于(a,a1…an)是关于 ao,a1…,an的二次函数,利用多元 函数求极值的必要条件 0(k=0,1,…,n) oa=20(x)249(x)-1(x)(x)dx=0 (k=0
多元函数 I a a a x a x f x x j j n j b a n ( , , , ) ( )[ ( ) ( )] d 2 0 0 1 = − = 的最小值。 ( ) x 为权函数。 由 于 ( , , , ) 0 1 n I a a a 是 关 于 a a an , , , 0 1 的二次函数，利用多元 函数求极值的必要条件 0 (k 0,1, ,n) a I k = = ， 2 ( )[ ( ) ( )] ( )d 0 0 = − = = x a x f x x x a I j j k n j b a k (k = 0, 1, , n)
p(xy, (x)P(x)dx=tp(x)f(x)%(x)dx 内积定义 ( 8)= p(x)f(x)g(x)dx /2=(x)=02=√∫ p(x)(f(x)-0)2dx 于 是 有 ∑(k29,1=(,9)(=0,1,…m) (9)(,9)…(99)a( (19)(,)…(9,9)‖a_(, (0n)(0n,1)…(n2n)
0 ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d n b b j j k k a a j a x x x x x f x x x = = 内积定义 f g x f x g x x b a ( , ) ( ) ( ) ( )d = 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 [ ( )( ( ) 0) d ] ( , ) b a f f x x f x x f f = − = − = 于是有 ( , ) ( , ) ( 0, 1, , ) 0 k j a j f k k n n j = = = . 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n n n a f a f a f =
这是关于ao2C1,,Cn的线性 方程组,称为法方程,由于 0091,…n线性无关,故系数行列 式G(0391,…9n)≠0,于是此方程 组有唯一解ak=ak(k=0,1,…,n),从 而得到 S(x=aoo(x)+.+a,(x) 定理5(x)39(x),9(x)在 a,b上线性无关的充分必要条件是 它的克来姆( Gramer)行列式 Gn≠0,其中 G=G(o, u
这是关于 a a an , , , 0 1 的线性 方程组，称为法方程，由于 n , , , 0 1 线性无关，故系数行列 式 G( 0 ,1 , , n ) 0 ，于是此方程 组有唯一解 * k k a = a (k = 0, 1, , n) ，从 而得到 ( ) ( ) ( ). * 0 * 0 * S x a x a x = ++ n n 定 理 5 0 1 ( ), ( ), , ( ) n x x x 在 [a,b] 上线性无关的充分必要条件是 它 的 克 来 姆 （ Gramer ） 行 列 式 Gn 0 ，其中 0 1 ( , , , ) G G n n =
q)(2q)…(9n,n) 1>90 (叨n,q9)(n,)…(qn,9n) 证:9(x)q(x)…,9(x)在[ab]上 线性无关,则由方程 S(x)=a0Q(x)+a192(x)+…+an9(x)=0 知(ao,a2,…an)=(0,0,…0) 将此方程两边分别乘以 p(o,Pm1,…POn之后在积分,便得到 下列方程组: ∑a(qk,9)=0(
0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n = 证： 0 1 ( ), ( ), , ( ) n x x x 在 [a,b] 上 线性无关，则由方程 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n n S x a x a x a x = + + + = 知 0 2 ( , , ) (0,0, 0) a a an = 将此方程两边分别乘以 0 1 , , n 之后在积分，便得到 下列方程组： 0 ( , ) 0 ( 0, , ) n k k j k a j n = = =
(。90)(00,91)…( 0:n (,90)(m,1)…(01,9n) 0 (9n29)(n9)…(n,n) 此齐次方程组只有零解,故其系 数行列式的值一定不为0,即 G.≠0 反之,若Gn≠0,同样对G可 经过适当变换得到(x)91(x)…9(x) 在[a,b上线性无关。 证明S(x)为最佳平方逼近函 数
即 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n n a a a = 此齐次方程组只有零解，故其系 数 行 列 式 的 值 一 定 不 为 0 ， 即 Gn 0 。 反之，若 Gn 0 ，同样对 Gn 可 经过适当变换得到 0 1 ( ), ( ), , ( ) n x x x 在 [a,b] 上线性无关。 证明 ( ) * S x 为最佳平方逼近函 数
即对任何S(x)∈卯,有 p(x)f(x)-S( (x)dxs」。p(x)Lf(x)-Sx)dx 为此只考虑 D= P(x)L(x)=s(x)]dx- p(x)I(x)-s'(x)2d x P(xs(x)-s(xld +2 p(x[S(x)-S(x)I[f(x)-S(x)]d p(xIS(x)-s(x)dx +2a-a)∫m(x0s(
即对任何 S(x) ，有 ( )[ ( ) ( )] d ( )[ ( ) ( )] d . * 2 2 x f x S x x x f x S x x b a b a − − 为此只考虑 D x f x S x x x f x S x x b a b a ( )[ ( ) ( )] d ( )[ ( ) ( )] d 2 * 2 = − − − x S x S x x b a ( )[ ( ) ( )] d * 2 = − * * 2 ( )[ ( ) ( )][ ( ) ( )]d b a + − − x S x S x f x S x x * 2 * * 0 ( )[ ( ) ( )] d 2 ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )]d b a n b k k k a k x S x S x x a a x x f x S x x = = − + − −
由于S(x)的系数ak是方程 ∑(q9,)a=(,qk)(=0,1,…,m) 的解,故 0(x)(x)-S:(x)2(x)dx=0 从而上式第二个积分为0,于是 D= P(x[S(x)S(x)] dx20 这就证明了S(x)是f(x)在卯中的最 佳平方逼近函数。 若令6=f(x)-S(x),则平方误差为
由于 ( ) * S x 的系数 * ak 是方程 ( , ) ( , ) ( 0, 1, , ) 0 a f k n k j j k n j = = = 的解，故 ( )[ ( ) ( )] ( )d 0 * − = x f x S x x x k b a (k = 0, 1, , n) ， 从而上式第二个积分为 0，于是 ( )[ ( ) ( )] d 0 * 2 = − D x S x S x x b a 这就证明了 ( ) * S x 是 f (x) 在 中的最 佳平方逼近函数。 若令 ( ) ( ) * = f x − S x ，则平方误差为
6l2=(f-S,f-S)=(/,-S)-(S;f-S (f,八)-(S,f)-(S,∫-S 由 于 (S,f-S')=(∑a9k,f-∑q) k=0 ∑a(,f-∑a) k=0 ∑a(,qk)-∑(129k)) k=0 j=0 所以 62=(f-S,f-S)=(/,)-(S;,)
2 * * * * * 2 = − − = − − − ( , ) ( , ) ( , ) f S f S f f S S f S * * * = − − − ( , ) ( , ) ( , ) f f S f S f S 由 于 * * * * 0 0 ( , ) ( , ) n n k k j j k j S f S a f a = = − = − * * 0 0 ( , ) n n k k j j k j afa = = = − * * 0 0 (( , ) ( , ) ) 0 n n k k j k j k j a f a = = = − = 所以 ( , ) ( , ) ( , ) * * * 2 2 = f − S f − S = f f − S f