§6三次样条插值 问题的提出: 上面讨论的分段低次插值函数 都有一致收敛性,但光滑 性较差,对于像高速飞机的机翼形 线,船体放样等型值线 往往要求有二阶光滑度,即有二阶 连续导数,早期工程师 制图时,把富有弹性的细长木条 (所谓样条)用压铁固定 在样点上,在其它地方让它自由弯 曲,然后画下长条的曲 线,称为样条曲线。它实际上是由 分段三次曲线并接而成,在连接点 即样点上要求二阶导数连续,从数
§6 三次样条插值 问题的提出: 上面讨论的分段低次插值函数 都有一致收敛性，但光滑 性较差，对于像高速飞机的机翼形 线，船体放样等型值线 往往要求有二阶光滑度，即有二阶 连续导数，早期工程师 制图时，把富有弹性的细长木条 （所谓样条）用压铁固定 在样点上，在其它地方让它自由弯 曲，然后画下长条的曲 线，称为样条曲线。它实际上是由 分段三次曲线并接而成，在连接点 即样点上要求二阶导数连续，从数
学上加以概括 就得到数学样条这一概念。下面我 们讨论最常用的三次样 条函数。 三次样条函数 定义:函数S(x)∈C{ab],且在每 个小区间[x,xH上是三次 多项式,其中=x<x1…<x=b 是给定节点,则称S(x)是 节点x0,X1,…,X上的三次样条函 数 若在节点x上给定函数值 y/=f(x,Xj=0,1,…,m),并成立
学上加以概括 就得到数学样条这一概念。下面我 们讨论最常用的三次样 条函数。 三次样条函数: 定义:函数 ( ) [ , ] 2 S x C a b ，且在每 个小区间 [ , ] j j+1 x x 上是三次 多项式，其中 a x x x b = 0 1 n = 是给定节点，则称 S(x) 是 节点 n x , x , , x 0 1 上的 三次样条函 数。 若在节点 j x 上给定函数值 y f (x )( j 0, 1, , n) j = j = ，并成立
S(x)=y(=0,…,n), 则称S(x)为三次样条插值函数。 从定义知要求出S(x),在每个 小区间[x,xm上要确定 4个待定系数,共有n个小区间, 故应确定4n个参数。 根据S(x)在[a,b上二阶导数连续, 在节点x(=12,…,n 处应满足连续性条件 S(x1-0)=S(x+0 S(x-0)=S(x+0), S"(x1-0)=S"(x1+0 共有3n-3个条件,再加上S(x)满
S(x ) y ( j 0, 1, , n) j = j = ， 则称 S(x) 为三次样条插值函数。 从定义知要求出 S(x) ，在每个 小区间 [ , ] j j+1 x x 上要确定 4 个待定系数，共有 n 个小区间， 故应确定 4n 个参数。 根据 S(x) 在 [a,b] 上二阶导数连续， 在节点 x ( j = 1, 2, , n −1) j 处应满足连续性条件 ( − 0) = ( + 0) j j S x S x ， ' ' ( 0) ( 0). S x S x j j − = + , ( − 0) = ( + 0). j j S x S x 共有 3n −3 个条件，再加上 S(x) 满
足插值条件 (x,)=y;(j=0,,…,n) 共有4n-2个条件,因此还需要2 个条件才能确定S(x) 通常可在区间[a,b端点 a=x0,b=x上各加一个条件 (称为边界条件),可根据实际问 题的要求给定。常见的有 以下三种: °已知两端的一阶导数值, S(o)=fo, S(n)=f
足插值条件 S(x ) y ( j 0, 1, , n) j = j = ， 共有 4n − 2 个条件，因此还需要 2 个条件才能确定 S(x) 。 通 常 可 在 区 间 [a,b] 端 点 n a = x , b = x 0 上各加一个条件 （称为边界条件），可根据实际问 题的要求给定。常见的有 以下三种： 1° 已知两端的一阶导数值， 即 n n S(x ) = f , S(x ) = f 0 0
2°两端的二阶导数已知,即 S(o)=fo, S(rn)=f 其特殊情况S"(x)=S"(xn)=0,称 为自然边界条件。 3°当f(x)是以xn-x0为周期 的周期函数时,则要求 S(x)也是周期函数。这时边界条件 应满足 S(x+0)=S(x-0),S"(x0+0)=S(xn-0) S(x0+0)=S"(xn-0) 而此时y=y。这样确定的样条函 数S(x),称为周期样条函数
2° 两端的二阶导数已知，即 '' 0 0 ( ) , ( ) S x f S x f n n = = ， 其特殊情况 ( ) ( ) 0 S x0 = S xn = ，称 为自然边界条件。 3° 当 f (x) 是以 0 x x n − 为周期 的周期函数时，则要求 S(x) 也是周期函数。这时边界条件 应满足 0 0 ( 0) ( 0), ( 0) ( 0) n n S x S x S x S x + = − + = − ， ( 0) ( 0) S x0 + = S xn − ， 而此时 n y = y 0 。这样确定的样条函 数 S(x) ，称为周期样条函数
三转角方程: 现在构造满足条件 S(x,)=y,(=0,1,…m)及加上相应 边界条件的三次样条函数S(x)的 表达式。 若假定S(x)在节点x处的值 为S(x)=m(=0,4…,m),则 由分段三次埃尔米特插值公式可 得 S(x)=∑[P(x)+mB(x), 其中∝,(x)、B(x)是插值基函数。 显然,表达式中S(x)及S(x)在 整个区间b上连续,且
三转角方程: 现 在 构 造 满 足 条 件 S(x ) y ( j 0, 1, , n) j = j = 及加上相应 边界条件的三次样条函数 S(x) 的 表达式。 若假定 S (x) 在节点 j x 处的值 为 S (x ) m ( j 0, 1, , n) j = j = ，则 由分段三次埃尔米特插值公式可 得 0 ( ) [ ( ) ( )] n j j j j j S x y x m x = = + ， 其中 (x) j 、 (x) j 是插值基函数。 显然，表达式中 S(x) 及 S (x) 在 整个区间 [a,b] 上连续，且
满足S(x)=y(=0,1…,m); 现需确定m(=04,…,m,可利用 S"(x1-0)=S"(x1+0(j=1…,n-1) 及某一边界条件来确定。为了求出 m,我们考虑S(x)在,上的表 达式 S(=(x )[h+2(x-x,) (x-x)(+20x-x)y X-X j+1)(x-x (x-x1)2(x-x+1) 这里h=xm-x。对S(x)求二次
满足 S(x ) y ( j 0, 1, , n) j = j = ； 现需确定 m ( j 0, 1, , n) j = ，可利用 S(x − 0) = S(x + 0)( j = 1, , n −1) j j 及某一边界条件来确定。为了求出 m j ，我们考虑 S(x) 在 [ , ] j j+1 x x 上的表 达式 2 1 3 ( ) [ 2( )] ( ) j j j j j x x h x x S x y h − + − + = 2 1 3 1 ( ) [ 2( )] j j j j j x x h x x y h + + − + − + j j j j m h x x x x 2 2 1 ( − ) ( − ) + + 2 1 1 2 ( ) ( ) + − − + + j j j j m h x x x x 这里 j j j h = x − x +1 。对 S(x) 求二次
导数得 6x-2x.-4x 6x-4x.-2x S"(x) +1 6(x+x+1-2x) (yj+1 yi) 于 是 4 2 S"(x,+0)= m,; 同理,可得S(x)在区间[x1,x 上的表达式 6x-2x,-4x 6x-4x.,-2x S(x) h2
导数得 2 1 1 2 1 6 2 4 6 4 2 ( ) + + − − + + − − = j j j j j j j j m h x x x m h x x x S x ( ) 6( 2 ) 3 1 1 j j j j j y y h x x x − + − + + + ， 于 是 ( ) 4 2 6 ( 0) 1 2 j 1 j j j j j j j y y h m h m h S x + = − − + + + − . 同理，可得 S(x) 在区间 [ , ] j 1 j x x − 上的表达式 j j j j j j j j m h x x x m h x x x S x 2 1 1 2 1 1 1 6 2 4 6 4 2 ( ) − − − − − − − + − − =
6(x1-1+x,-2x 及 S(x1-0)=,-m1+ 4 -1 y-1 由 条 件 x.+ 可得 +2 n.+ 用 除全式,并注意
( ) 6( 2 ) 2 1 1 1 − − − − + − + j j j j j y y h x x x ， 及 ( ) 2 4 6 ( 0) 2 1 1 1 1 1 − − − − − − = + − j − j j j j j j j y y h m h m h S x 。 由条件 ( 0) ( 0) ( 1, 2, , 1) j j S x S x j n + = − = − ， 可得 1 1 1 1 1 1 1 2 1 + − − − + + + j j j j j j j m h m h h m h 3 ( 1, 2, , 1), 2 1 1 2 1 = − − + − = − + − j n h y y h y y j j j j j j 用 hj hj 1 1 1 + − 除 全 式 ， 并 注 意
八x,xn,上面方 程可简化为 1,m,1+2m2+,m (j=1,2,…,n-1 其中 h.,+h 81=3(4,fx1,2x,]+[x,x+1])(=1,…,n-1) 此方程是关于未知数m,m,…m 的n-1个方程,若加上边 界条件:m=f,mn=f,则方程变 为只含m,…mn1的n-1
1 1 , [ , ] j j j j j j j y y y f f x x h + + − = = ，上面方 程可简化为 1 1 2 j j j j j j m m m g − + + + = ( j = 1, 2, , n −1); 其中 , ( 1, , 1) 1 1 1 = − + = + = − − − j n h h h h h h j j j j j j j j ， 3( [ , ] [ , ]) ( 1, , 1) g j = j f x j−1 x j + j f x j x j+1 j = n − ， 此方程是关于未知数 m m mn , , , 0 1 的 n −1 个方程，若加上边 界条件： 0 0 m = f , n n m = f ，则方程变 为只含 1 1 , , m mn− 的 n −1