问题的提出: 已知函数y=f(x)在n+1个不同 的点01n上的函数值分别 为y,…yn,求一个次数不超过n的 多项式P(x),使其满足 n),即n+1个 不同的点可以唯一决定一个n次多 项式。 n次拉格朗旦型插值多项式: (x)=yolo(x)+yil(x)+.+yn/n(x)
1 问题的提出： 已知函数 y f x = ( ) 在 n+1 个不同 的点 , , , 0 1 x x x n 上的函数值分别 为 0 1 , , , n y y y ,求一个次数不超过 n 的 多项式 ( ) P x n ,使其满足 ( ) P x y n i i = , (i n = 0,1, , ) ，即 n+1 个 不同的点可以唯一决定一个 n 次多 项式。 n 次拉格朗日型插值多项式: 0 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n k k k P x y l x y l x y l x y l x = = + + + =
(x-x0)…(x-x1)(x-x1)…(x-xn) x x-x,_1)(x2-x-1)…(x,-x +1 Ox n+1 n+1 On+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x On+1(x1)=(x1-x0)…(x1-x1)(x1-x1+1) 截断误差: R, (x f(()On+(x) (n+1)! 牛顿插值公式 Nn(x)=∫(x)+∫x,x(x-xD)
2 0 1 1 0 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x − + − + − − − − = − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1 1 i n i n i x x x x l x + + − = ( ) ( )( ) ( ) n 1 0 1 n x = x − x x − x x − x + ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 1 1 ' n 1 i i i i i i i n x = x − x x − x x − x x − x + − + 截断误差： ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n R x f x n n n + = + + 牛顿插值公式: ( ) N x n ( ) [ , ]( ) 0 0 1 0 = + − f x f x x x x
+f[x,x,x2](x-x)(x-x1 +f1x,x1,…,x(x-x)x-x)…(x-xn1) R,(r) 091 l(x-x)(x-x)…(x-xn) f(c=n(x)+R, (x) 拉格朗日插值与牛顿插值的 比较:
3 [ , , ]( )( ) 0 1 2 0 1 + − − + f x x x x x x x [ , , , ]( )( ) ( ) 0 1 n 0 1 n 1 f x x x x x x x x x + − − − − ( ) R x n [ , , , , ]( )( ) ( ) 0 1 n 0 1 n = − − − f x x x x x x x x x x ; ( ) ( ) ( ) n n f x N x R x = + 。 拉格朗日插值与牛顿插值的 比较:
(1)(x)和N(x)均是n次多 项式,且均满足插值条件: L(X=N,x=f(rk),k=0, 由插值多项式的唯 性,(x)≡N(x),因而两个公式 的余项是相等的,即 ∫[x 9~0 +I ) 则可知n阶差商与导数的关系如 下
4 (1) ( ) L x n 和 ( ) N x n 均是 n 次多 项式,且均满足插值条件: ( ) ( ) ( ), , , , L x N x f x k 0 1 n n k n k k = = = 。 由插值多项式的唯一 性, ( ) ( ) P x N x n n ,因而,两个公式 的余项是相等的,即 ( ) ( ) [ , , , ] ( ) ( ) ( )! n 1 0 1 n n 1 n 1 f f x x x x x x n 1 + + + = + 则可知 n 阶差商与导数的关系如 下：
m() 0:41 2∈[a (2)当插值多项式从n-1次增 加到n次时,拉格朗日型插值必须 重新计算所有的基本插值多项式 而对于牛顿型插值,只需用表格再 计算一个n阶差商,然后加上一项 即可 (3)牛顿型插值余项公式对 f(x)是由离散点给出或(x)导数不 存在时均适用
5 ( ) 0 1 ( ) [ , , , ] , [ , ] ! n n f f x x x a b n = (2)当插值多项式从 n-1 次增 加到 n 次时,拉格朗日型插值必须 重新计算所有的基本插值多项式; 而对于牛顿型插值,只需用表格再 计算一个 n 阶差商,然后加上一项 即可。 （3）牛顿型插值余项公式对 f x( ) 是由离散点给出或 f x( ) 导数不 存在时均适用
§3.3、差分与等距牛顿插值 公式 插值节点为等距节点: 十k k=0,1,…,n h称为步长,函数y=f(x)在xk 的函数值为J=f(x) 1.差分的概念 阶差分: k+I 二阶差 分 △fk=+1-4k
6 §3.3、差分与等距牛顿插值 公式 插值节点为等距节点： x x k 0 = + kh ， k 0 1 n = , , , , h 称为步长，函数 y f x = ( ) 在 xk 的函数值为 ( ) k k f f x = 。 1. 差分的概念 一阶差分: k k 1 k f f f = − + ； 二阶差 分: 2 k k 1 k f f f = − +
=( k+2 Jk+ k+l 般地,m阶差分用m-1阶差分来 定义: △"fk=A"f+1-△"f 以上定义的是前差:从k起向 前Xk+n3k+2的函数值的 差,△称为向前差分算子。 而下面定义向后差分,V表 示向后差分算子, Vtk=fr=fk 人-I
7 ( ) ( ) k 2 k 1 k 1 k f f f f + + + = − − − 一般地，m 阶差分用 m-1 阶差分来 定义： m m 1 m 1 k k 1 k f f f − − = − + 。 以上定义的是前差：从 xk 起向 前 , , x x k 1 k 2 + + 的函数值的 差，Δ称为向前差分算子。 而下面定义向后差分，▽表 示向后差分算子， k k k 1 f f f = − −
V=V-Vfk=r-fk)-( fr -vfk-I 分别称为一阶,二阶, 阶向后差分。 中心差分,δ表示中心差分 算子, 8f=f(k+/2)-f(x-h/2) 1 如果用函数表上的值,一阶中心 差分应写成
8 ( ) ( ) 2 k k k 1 k k 1 k 1 k 2 f f f f f f f = − = − − − − − − − ,…， m m 1 m 1 k k k 1 f f f − − = − − 分别称为一阶，二阶，. . . ，m 阶向后差分。 中心差分， 表示中心差分 算子， ( / 2) ( / 2) k k k f f x h f x h = + − − 1 1 2 2 k k f f + − = − 如果用函数表上的值，一阶中心 差分应写成
o k+1-.k + k k k-- 二阶中心差分为: S-f=dfi=dfl K+ k 2 除差分算子外,常用的算子 符号还有: 不变算子I: k 移位算子E: yfk=fk+ 由上面各种算子的定义可得算 子间的关系:
9 1 1 2 k k k f f f + + = − 1 1 2 k k k f f f − − = − 二阶中心差分为： 2 1 1 2 2 k k k f f f + − = − 除差分算子外，常用的算子 符号还有： 不变算子 I: k k If f = 移位算子 E： Ef f k k = +1 由上面各种算子的定义可得算 子间的关系：
由 △fk=人+1-f=E-B=(E 可得△ 同理可得 V=-E-I 6=E2-E2 差分的性质 性质1:各阶差分均可用函数值 表示, △"=(E-)y=∑(-yE ∑(1)mk
10 由 1 ( ) k k k k k k f f f Ef If E I f = − = − = − + ， 可得 = − E I 同理可得 1 1 1 2 2 I E E E , . − − = − = − 差分的性质 性质 1: 各阶差分均可用函数值 表示， 0 ( ) ( 1) n n n j n j k k k j n f E I f E f j − = = − = − 0 ( 1) n j n k j j n f j + − = = −
