数定理及其应 第7页 1.f(2)在上半平面除了有限个孤立奇点外是处处解析的,在实轴上没有奇点; 2.在0≤argz≤π范围内,当|z→∞时,zf(z)一致地趋于0,即对于任给的ε>0,存在 M()>0,使当|2≥M,0≤argz≤π时,|zf(z)<ε 这两个条件并不苛刻.第1个条件保证了原来的实变积分不是瑕积分,并且可以应用 留数定理计算围道积分 d f):=/f(d:+/ /(@):=2ri 2 res f(e) 上半平面 第2个条件,首先是作为实变无穿积分的收敛条件 lim f(z)=0 的自然推广,同时,根据引理3.2,又保证了 f(2)dz=0. R→∞Jca 取极限R→∞,就得到 f(x)dx=2i∑ res j(2) 上半平面 例10.5计算定积分I (1+x2)3 解此时显然符合上述要求的条件,故 =2i 最后,为了对应用留数定理计算定积分的基本思想有一个比较深入的理解,不妨再重复一下 前面的叙述 为了能够应用留数定理计算无穷积分,我们必须: 1.补上适当的积分路径而形成闭合围道,计算∮f()dz; 2.在补上的路径上的积分,或者与所要求计算的无穷积分直接相关 或者可以简单方便地计算出来Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 7 ☞ 1. f(z) ❅■③❂❃✹❈✺✻✼✽✾✿❀❁➌▼▼❈❉★❂❅❛❜■❏✺✿❀♦ 2. ❅ 0 ≤ arg z ≤ π ❻ ❫❆❂❭ |z| → ∞ ♦❂ zf(z) ✬❼✘❽◗ 0 ❂ ❾➶ ◗❿➀★ ε > 0 ❂❲❅ M(ε) > 0 ❂❜❭ |z| ≥ M ❂ 0 ≤ arg z ≤ π ♦❂ |zf(z)| < ε ✷ ê➁î➂➃➄þ➅➆✷➇ 1 î➂➃➈➉ ➂ ➊➋⑦ ➌➍⑩❶þô➎⑩❶❂➄➏￾ é➐➑ st✉✈➃➄ ⑧⑨⑩❶ I C f(z)dz = Z R −R f(z)dz + Z CR f(z)dz = 2π i X Û➒➓ ➔ res f(z). ➇ 2 î➂➃❂→➣ô↔➁ ➌➍↕➙⑩❶⑦➛➜➂➃ lim x→±∞ xf(x) = 0 ⑦ ➝➞➟ ➠❂➡➢❂➤➥ ➦✈ 3.2 ❂➧➈➉ ➂ lim R→∞ Z CR f(z)dz = 0. ➨ ➎✻ R → ∞ ❂r➩❷ Z ∞ −∞ f(x)dx = 2π i X ■③❂❃ res f(z). ➸ 10.5 ↔↕❧✦✭ I = Z ∞ −∞ dx (1 + x 2) 3 ✷ ➺ ✓ ♦ ❩❬➫✴■➭ ✪ ➉★⑩❶❂➽ I = Z ∞ −∞ dx (1 + x 2) 3 = 2π i · res 1 (1 + z 2) 3     z=i =2π i ·  − 3i 16 = 3 8 π. ✈ ④❂✫❈ ➶✿✐ ◆❄❧♠↔↕❧✦✭★➯➲➳➵✺✬✼ ✮✯➸➺★♠❈❂❡❸➻➼❥✬➑ ➽ ❃★➾➭× ✫❈❮➚ ✿✐ ◆❄❧♠↔↕❰❯✦✭❂■❏❫❦× 1. ❧■♠❭★✦✭❀❁♥✺❢✳✴ ❫❒❂↔↕ I f(z)dz ♦ 2. ❅❧■★❀❁■★✦✭❂♣qr➦✪ ➉↔↕★❰❯✦✭st✾✉❂ ♣q➒➓✱✲✃✰✘↔↕✜ ✭✷