龚光鲁,钱敏平著应用随机过程教程一与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社,2003 第11章Gas系,二阶矩过程时间序列 1.全体方差有限的随机变量构成的 Hilbert空间 1,1实值情形 期望为0且方差有限的随机变量全体构成的集合,记为c2.它是一个无穷维的线性空间 在C2上可以仿照欧氏空间定义内积 (,n)=E(m),(V5,n∈L2) 于是c2在此内积下成为(无穷维)欧氏空间.再仿照欧氏空间定义模(相当于长度,也称为 均方距离) ‖=(5,5)2 它有以下的重要性质: (1) Cauchy不等式:|(2,m)|‖5‖·‖n‖ (2)三角形不等式:‖l5+n|‖+l‖nl‖l 这样d(5,n)=5-n就是定义在L2上的一个距离,从而有了收敛性:即若‖5n-5|>0 则称5n→>5(它的含义恰是均方收敛E|n-5|2→0).作为线性空间C2除了不再是有限 维以外,它与普通的有限维欧氏空间一样,作为距离空间都是完备的,即:随机序列{5n}在 C2中收敛的充要条件为它是一个 Cauchy列(见第9章),也就是 vE>0,N,只要nm>N就有‖n-5m|k 定义11.1完备的无穷维欧氏空间常称为 Hi lbert空间 1.2复值情形 在通信等领域,人们常用复值的量.记i为虚数单位,若5,n都是随机变量,则 =5+i称为复值随机变量,它具有复的数学期望Es=E5+iη,非负的方差 vars=E(SS= ES+En 用一点技术处理可以证明(本书从略):对于任意复常数a,恒有E(a)=aE,两个期 望为0的复随机变量51s2的内积定义为(s1,s2)=E(s1s2).于是,实值情形的结论对于复值 情形也是适用的 2随机变量族的均方信息空间与滤波 2.1均方信息空间 记号11.2由随机变量族{a:a∈/}中任意有限个元素的任意有界连续函数全体 组成2的一个线性子空间(但对极限并不封闭),记为Φ() 再记①(2)为:包含Φ(2)且对c2中收敛性封闭的最小集合,那么①(2)是C2的 Hilbert子空间我们称它为{:a∈l}的均方信息空间.这里”均方信息”的含义是指 只要“方差有限”的信息284 龚光鲁, 钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用 清华大学出版社, 2003 第 11 章 Gauss 系, 二阶矩过程, 时间序列 1. 全体方差有限的随机变量构成的 Hilbert空间 1, 1 实值情形 期望为 0且方差有限的随机变量全体构成的集合, 记为 L 2 ．它是一个无穷维的线性空间. 在 L 2 上可以仿照欧氏空间定义内积: (x ,h) E(xh) D = , ("x,h Î L2 ). 于是 L 2 在此内积下成为(无穷维) 欧氏空间. 再仿照欧氏空间定义模 (相当于长度，也称为 均方距离) 2 1 || x || (x ,x ) D = ． 它有以下的重要性质: （１）Cauchy 不等式: | (x,h) |£|| x || × ||h || . （２）三角形不等式: || x +h ||£||x || + ||h || . 这样 (x ,h)= ||x -h || D d 就是定义在 L 2 上的一个距离, 从而有了收敛性: 即若 || xn -x ||® 0, 则称 x ®x n ( 它的含义恰是均方收敛 | | 0 E x n -x 2® ).作为线性空间 L 2 除了不再是有限 维以外, 它与普通的有限维欧氏空间一样, 作为距离空间都是完备的, 即: 随机序列{ }n x 在 L 2 中收敛的充要条件为它是一个 Cauchy 列(见第 9 章), 也就是 "e > 0,$ , , > , ||x -x ||< e N 只要n m N 就有 n m . 定义１１.１ 完备的无穷维欧氏空间常称为 Hilbert 空间. 1. 2 复值情形 在通信等领域, 人们常用复值的量. 记 i为虚数单位, 若x，h 都是随机变量，则 V = x + ih 称为复值随机变量, 它具有复的数学期望 EV = Ex + iEh , 非负的方差 2 2 var V = E(VV} = Ex + Eh D . 用一点技术处理可以证明(本书从略): 对于任意复常数a , 恒有 E(aV) =aEV . 两个期 望为 0 的复随机变量 1 2 V ,V 的内积定义为 ( , ) ( ) V 1 V 2 E V 1 V 2 D = . 于是, 实值情形的结论对于复值 情形也是适用的. 2 随机变量族的均方信息空间与滤波 2. 1 均方信息空间 记号１１．２ 由 随机变量族{x :a Î I} a 中任意有限个元素的任意有界连续函数全体 组成 L 2 的一个线性子空间(但对极限并不封闭), 记为 F (x ) . 再记F (x ) 为: 包含 F (x ) 且对 L 2 中收敛性封闭的最小集合, 那么 F (x ) 是 L 2 的 Hilbert 子空间. 我们称它为{x :a Î I} a 的均方信息空间. 这里 ”均方信息” 的含义是指 只要 “方差有限”的信息