2.2滤波问题 滤波问题的一般提法为:假定随机变量族{a:a∈l}是可以实际测量的,且期望为 而另一个随机变量n的期望为0,方差有限,但是不能实际测量得到我们需要从测得的 {a:a∈l}对随机变量η给出一个估计η·这样的问题称为滤波问题 解滤波问题的思路的一般模式 我们知道在欧氏空间中,对于一个子空间外一个点,求此点在该子空间上的投影,就 是在该子空间中寻找一个与它距离最近的点.这个事实在 Hilbert空间仍然正确(由于 ilbert空间是无限维的,欧氏空间情形的证明当然不再适用.我们略去 Hilbert空间中的这 个基本事实的证明).于是滤波问题的解n就是n在c2?Hbet子空间Φ()上的投影.即 下面的命题 命题11.3在随机变量族{aa∈/}的均方信息空间Φ(2)中的元素n与随机变量n 最近,即7-nmn;)n-5‖,的充要条件是 d(),且 ⊥d(5) 即对任意n及任意n元(Borl)函数g(",恒有 EIn-ng(s )=0 (11.1) 定义1.4将n记为Proh:,称为关于{aa∈}的(非线性)滤波 按条件期望的定义,(11.1)说明了 Projan=E(nla:a∈D) 即关于{a:∝∈/}的条件期望于是在特殊情形,即{a:a∈l只有一个随机变量ξ的情 形,我们有 )若(,)是离散的随机变量,P(,=(x,)=时,n=∑xn Pi (2)若(5,m)有密度p(xy)时,n=[x_p(xm)-dx plu, n )du 3 Gauss系与投影再访 3.1Gass过程的定义与等价条件及其性质 nu 复习11.5随机向量n 称为服从n维Gaus分布,记为N(,2) 如果其特征函数有以下形式 ee 其中4是n维向量,Σ是nXn非负定矩阵(即任意n维向量x,恒有xΣx≥0),显见有:285 2. 2 滤波问题 滤波问题的一般提法为：假定随机变量族{x :a Î I} a 是可以实际测量的, 且期望为 0． 而另一个随机变量h 的期望为 0, 方差有限, 但是不能实际测量得到. 我们需要从测得的 {x :a Î I} a 对随机变量h 给出一个估计 ^ h ． 这样的问题称为滤波问题. 解滤波问题的思路的一般模式 我们知道在欧氏空间中, 对于一个子空间外一个点，求此点在该子空间上的投影, 就 是在该子空间中寻找一个与它距离最近的点. 这个事实在 Hilbert 空间仍然正确 (由于 Hilbert 空间是无限维的, 欧氏空间情形的证明当然不再适用. 我们略去 Hilbert 空间中的这 个基本事实的证明). 于是滤波问题的解 Ú h 就是h在 L 2 ? Hilbert子空间 F (x ) 上的投影. 即 下面的命题 命题１１.３ 在随机变量族{x :a Î I} a 的均方信息空间F (x ) 中的元素 Ú h 与随机变量h 最近，即|| || min || || ( ) h h h V V x - = - ÎF Ú ，的充要条件是 Ú h Î F (x ) , 且 - ^ Ú h h F (x ) , 即对任意n 及任意n元（Borel）函数 (n) g ，恒有 [( ) ( , , )] 0 1 ( ) - = Ú n n E g a a h h x L x . (11.1) 定义１１.４ 将 Ú h 记为 h(x ) Pr F oj , 称为h 关于{x :a Î I} a 的(非线性)滤波. 按条件期望的定义, (11. 1)说明了 h(x ) Pr F oj = E(h | x :a Î I) a , (11. 2) 即h关于{x :a Î I} a 的条件期望. 于是在特殊情形, 即{x :a Î I} a 只有一个随机变量x 的情 形, 我们有 (1) 若(x,h)是离散的随机变量, i j ij P((x ,h) = ( x , y )) = p 时, å å = Ú i i i i i p p x h h h . (2) 若 (x,h)有密度 p( x, y)时, dx p u du p x x ] ( , ) ( , ) [ ò ò = Ú h h h . 3 Gauss 系与投影再访 3.1 Gauss 过程的定义与等价条件及其性质 复习１１.５ 随机向量 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = hn h h M 1 称为服从 n维 Gauss 分布，记为h～N(m,S ) , 如果其特征函数有以下形式 l m l l l h - S = T T T i Ee e 2 1 ， 其中 m 是n 维向量，S 是n´ n非负定矩阵（即任意 n 维向量x ，恒有 x Sx ³ 0 T ）．显见有：