nt 随机变量n=服从n维Gms分布,当且仅当,对于任意实数a1…an,线性组合 n ∑an服从一维Gaus分布(即或者是一维正态分布或者是常数) 请读者验证 命题11.6n维随机向量丌N(μ,∑),当且仅当,存在m和相互独立的m个服从 (0.1)的随机变量Z1,Z2…,Zn,以及nXm矩阵A=(an)(i≤n,j≤m,使 ∑=AA ZI 其中Z=:.矩阵∑非退化(行列式不为0时)的 Gauss分布,称为多维正态分布 Z 命题11.7若N(μ,∑),则有 (1)En=,E[(n-4)(7-)=∑ (2)+b~N4+b,AEA) 服从Gaus分布,且5P5(指所有分量都概率收敛,则ξ服从 Gauss 分布 请读者验证(1)与②2)).对于(3),我们只证一维情形,因为多维情形类似.由假定 Py5,对于ε>0,有 P(5-5Ⅷ卜E)→>0,n,m→>∞ (11.3) E5-E(, (D),Φ(x e2dl.于是(11.3)变成 在n,m→∞时 而上式左边等于 =1-0(m+5+-m+5) 因此(11.3)蕴含:存在N,只要i,j>N,上面右式就小于1-Φ(=Φ(-1).由此 -(-m+E、 )<1-d(1) 从而在L,j>N时有 m1.+E286 随机变量 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = hn h h M 1 服从n 维 Gauss 分布，当且仅当，对于任意实数 n a , , a 1 L ，线性组合 å= n k k k a 1 h 服从一维 Gauss 分布（ 即或者是一维正态分布, 或者是常数）． 请读者验证． 命题１１．６ n 维随机向量h～N(m,S ), 当且仅当, 存在m 和相互独立的m 个服从 N(0,1) 的随机变量Z Z Z m , , , 1 2 L ，以及n´ m矩阵 A (a ) i n, j m) = ij （ £ £ ，使 h＝A Z + m ， S＝AA T ， 其中 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = Zm Z Z M 1 ． 矩阵S 非退化（行列式不为 0 时）的 Gauss 分布，称为多维正态分布． 命题１１.７ 若h～N(m,S ) ，则有 (1) Eh = m,E[(h - m)(h - m)] = S. (2) ~ ( , ) T Ah +b N Am +b ASA . (3) (n ) x 服从 Gauss 分布, 且x ¾®x p (n ) (指所有分量都概率收敛), 则x 服从 Gauss 分布. 请读者 验证(1)与(2)). 对于(3), 我们只证一维情形, 因为多维情形类似. 由假定 x ¾®x (n ) p , 对于ε>0，有 P - > ® n m ® ¥ n m (| | ) 0, , ( ) ( ) x x e . (11. 3) 记 , ( ) ( ) ( ) 2 (i) ( j) ij i j mij = Ex - Ex s = Var x - x , ò -¥ - F = x u x e du 2 2 2 1 ( ) p . 于是(11. 3)变成 在 n,m ® ¥时 ò > - - ® e s ps | | 2 ( ) 0 2 1 2 2 x x m ij e dx ij ij . 而上式左边等于 ò + > - p |s | e 2 2 2 1 ij mij y y e dy [1 ( )] ( ) ij ij ij mij m s e s e + + F - - + = - F . 因此(11. 3)蕴含: 存在 N ，只要i, j > N , 上面右式就小于1- F(1)(= F(-1)) . 由此 [1 ( )] < 1 - F(1) - + - F ij mij s e , ( ) < F(-1) + F - ij mij s e . 从而在 i, j > N 时有 > 1 - + ij mij s e , > 1 + ij mij s e