即σ土m<E,把此两式相加就得到σn<(i,j>N).由此进一步得到±mn<,即 mk(,j>N).可见 5(")2=σn2+m12→0(,j→∞) 于是{)}是 Hilbert空间c2中的 Cauchy列用完备性就得到:E|(m-5→0.从而有 Em→E5,War()→War5,由此 E98))leE Ee= lim Ee 可见ξ也服从 Gauss分布 定义11.8随机变量族{;:∈/}称为Gaus系,如果n,V1,…tn∈l, (54,…,5,)服从Gaus9分布.如果Guss系中的指标集/=[0,∞),则称为Gaus过程 对于 Gauss过程而言,其期望函数m(D)=E51及相关函数B(S,1)=E(551)完全地确定了 它的有限维分布族 m(t1) (,) M(L) 其中2(t1,t,)=B(12,4)-m(1m(t),称为协方差函数 例11.9 (1)若(5,n)为正态分布,则(5,5-m,5+n)为Gaus分布 (2)若{nn2}为Gs系,n=∑an5k,则{nn≥1为Gass系 记号11.10期望为0的全体Gaus随机变量不仅是C2的线性子空间,而且由于均 方收敛蕴含概率收敛(用 Chebyshev不等式),由命题11.7的(3)可知,它还是 Hilbert 子空间.记 L(5)={;:t∈l}中任意有限个元素的实线性组合组成的集合 称为{1:t∈/}的线性包再记L()为包含L(5),且对于均方极限封闭的最小集合:即 若n1"∈L(),nm-n|→0,则n∈L(2) L(2)称为{,:t∈l}的线性闭包。它的每个元素都是{:t∈}中元素线性组合在概率意义 下的极限,因而可看成整个随机过程{1t∈l}的某个“线性泛函”Φb(ξ).作为命题11.7的 直接推论,我们有下述命题 命题11.11(封闭性命题)如果{;:∈}是 Gauss系,则L(2)也是 Gauss系 此外,我们还有 命题11.12(独立性命题) (1)若{5a,:a∈1,B∈是 Gauss i系,则{a:∈}与{p:β∈}独立的充要条 件为对于任意5a,n都有Coa7g)=0287 即 s ± < e ij mij , 把此两式相加就得到 2 e s ij < ( i, j > N ). 由此进一步得到 2 e ± mij < , 即 2 | | e mij < ( i, j > N ). 可见 - = ( ) ( ) 2 ( ) i j E x x 0,( , ) 2 2 s ij + mij ® i j ® ¥ . 于是{ } (n) x 是 Hilbert 空间 L 2 中的 Cauchy 列. 用完备性就得到: | | 0 E x (n) -x 2® . 从而有 Ex Ex Var x Varx (n) ® , ( (n) ) ® ，由此 l x l x l x l x lx lx i E Var i E Var n i n i Ee Ee e e n n n ( ) 2 9 ) 2 ( ) 2 1 ( ) 2 1 lim lim - - = ®¥ = ®¥ = 可见x 也服从 Gauss 分布． 定义１１．８ 随机变量族{ :t I} xt Î 称为 Gauss系, 如果 n t t I " ," 1 ,L n Î , ( , , ) 1 n t t x L x 服从 Gauss分布. 如果 Gauss 系中的指标集I = [0,¥) , 则称为 Gauss 过程. 对于 Gauss 过程而言, 其期望函数 E t m t x D ( )= 及相关函数 ( , ) ( ) E s t B s t x x D = 完全地确定了 它的有限维分布族: ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ S ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ i j£n i j t n t t t M t m t N n , 1 , ( , ) ( ) ( ) ~ 1 M M x x , 其中 ( , ) ( , ) ( ) ( ) i j i j i j S t t = B t t - m t m t , 称为协方差函数. 例１１．９ (1) 若(x,h)为正态分布, 则(x ,x -h,x +h) 为 Gauss 分布 (2) 若{ : n ³1} n x 为 Gauss 系, å= = n k n nk k a 1 h x , 则{ : n ³ 1} hn 为 Gauss 系. 记号１１.１０ 期望为 0 的全体 Gauss随机变量不仅是 L 2 的线性子空间, 而且由于均 方收敛蕴含概率收敛(用 Chebyshev 不等式), 由命题１１.７的（３）可知, 它还是 Hilbert 子空间. 记 L( ) { : t I } = t Î D x x 中任意有限个元素的实线性组合组成的集合; 称为{ :t I} xt Î 的线性包. 再记L(x ) 为包含 L(x ) , 且对于均方极限封闭的最小集合: 即 若 ( ),|| || 0 h (n) Î L x h (n) -h ® , 则h Î L(x ) . L(x ) 称为{ :t I} xt Î 的线性闭包。它的每个元素都是{ : t I} xt Î 中元素线性组合在概率意义 下的极限，因而可看成整个随机过程{ :t I} xt Î 的某个“线性泛函” F(x) ．作为命题 11.7 的 直接推论, 我们有下述命题 命题１１．１１(封闭性命题) 如果{ :t I} xt Î 是 Gauss 系, 则 L(x ) 也是 Gauss 系. 此外, 我们还有 命题１１.１２（独立性命题） (1) 若 {x ,h :a Î I, b Î J} a b 是 Gauss 系, 则{x :a Î I} a 与{h : b Î I} b 独立的充要条 件为: 对于任意 a hb x , 都有 ( ) = 0 ahb Cov x