(2)若{5a:a∈}与g:β∈引独立,那么Φ(5)与Φ(5)独立 3.2 Gauss过程的投影一线性滤波 定义11.13设1t∈D儿是期望为0的Gaus系.随机变量n在Het子 空间L()上的投影记为门,称为η关于{a:α∈l的线性滤波·也记为Proe:n,即 n∈L(5),且n-n⊥L(5) (11,1) (11.1)称为线性投影公式 定理1.14设5,t∈1)m是期望为0的Gaus系.那么 即:对 Gauss系而言,非线性滤波与线性滤波是一样的 证明首先注意n∈L(5)cΦ().其次,由于n-n⊥L(5),我们有 E[(n-m)5]=0.(Vt∈1).由命题11.12得到,n-n与{1:t∈l}独立,因而也与Φ(2) 独立.于是对于任意对s∈Φ(5)有E[(n-m)s]=0.这正说明了n-n⊥Φ(5).从而 n=n 3.3复 Gauss过程 设56=56+1n(),(k=12)的期望为0,则二元函数B(S,1)=E(0cP2)称为过程 5}与{52)}的相关函数.它是一个复的非负定函数,即对于任意m,12…,tm及任意复数 a1,…,an,恒有 B(tk,1x4a1≥0. 定义11.15复随机过程s1=51+1,称为复 Gauss过程,如果{}与{n}是相互独 立,且有限维分布族相同的 Gauss过程 3.4 Gauss过程的特征泛函 对于期望函数为0,协方差函数为R(S,1)的Gaus过程5,及任意连续增函数F(t),定义Gaus过程 5,的特征泛函为 pE(F)=Ee 即它是s随机变量5:dF(O)的特征函数在1处值.由于印∫5FO=0 Var 5, dF(O R(S,t)dF(s)dF(),因此 d:(F)=e°° 4.平稳性与宽平稳性288 (2) 若{x :a Î I} a 与{h : b Î J} b 独立, 那么F (x ) 与F (x ) 独立. 3. 2 Gauss 过程的投影 －线性滤波 定义１１．１３ 设{x :t I)U{h} t Î 是期望为 0的 Gauss 系．随机变量 h 在 Hilbert 子 空间 L(x ) 上的投影, 记为 ^ h , 称为h关于{x :a Î I} a 的线性滤波． ^ h 也记为 h (x ) Pr L oj , 即 ( ), ^ h Î L x 且 ( ) ^ h -h ^ L x . (11, 1)’ (11. 1)’称为线性投影公式. 定理１１．１４ 设{x :t I)U{h} t Î 是期望为 0 的 Gauss系．那么 ^ h = h Ú , 即:对 Gauss 系而言, 非线性滤波与线性滤波是一样的. 证 明 首先注意 Î ( ) Ì ^ h L x F (x ) . 其 次 , 由 于 ( ) ^ h -h ^ L x , 我们有 [( ) ] 0,( ) ^ E t I h -h xt = " Î . 由命题１１.１２得到， ^ h -h 与{ :t I} xt Î 独立, 因而也与F (x ) 独立. 于是对于任意对V Î F (x ) 有 [( ) ] 0 ^ E h -h V = . 这正说明了 - ^ ^ h h F (x ) . 从而 ^ h = h Ú . 3. 3 复 Gauss 过程 设 ,( 1,2) ( ) ( ) ( ) = + i k = k t k t k V t x h 的期望为 0, 则二元函数 ( , ) ( ) (1) (2) E s t B s t V V D = 称为过程 { } (1) t V 与{ } (2) t V 的相关函数. 它是一个复的非负定函数, 即对于任意m , m t , ,t 1 L 及任意复数 a a m , , 1 L , 恒有 ( , ) 0 , 1 å ³ = k l k l m k l B t t a a . 定义１１.１５ 复随机过程 t t t V = x + ih 称为复 Gauss 过程, 如果{ }t x 与{ } ht 是相互独 立, 且有限维分布族相同的 Gauss 过程. 3. 4 Gauss 过程的特征泛函 对于期望函数为０，协方差函数为 R(s,t) 的 Gauss 过程 t x 及任意连续增函数 F(t) ，定义 Gauss 过程 t x 的特征泛函为 ( ) 0 ( ) i dF t t T F Ee x x ò F = D ， 即它是 Gauss 随机变量 ( ) 0 dF t t T x ò 的特征函数在１处值．由于 [ ( )] 0 0 = ò E dF t t T x ， [ ( )] ( , ) ( ) ( ) 0 0 0 Var dF t R s t dF s dF t T T t T ò ò ò x = ，因此 ( , ) ( ) ( ) 2 1 0 0 ( ) R s t dF s dF t T T F e ò ò F = - x ． 4. 平稳性与宽平稳性