4.1平稳序列与宽平稳序列 在实用领域中称随机变量序列5n(-∞<n<∞)为时间序列,常假定其方差有限. 定义11.16如果对于任意m,k,m维随机变量(5k41,…,5km}都与(51,…,5m}同 分布,则称2n(-∞<n<∞)为平稳序列 如果有对于任意n,k有 En=常数m,E(5n5n)=某个不依赖n的函数R(k), 则称5n(-∞<n<∞)为宽平稳序列,而R(k)称为它的相关函数 宽平稳序列是在应用中最常用的时间序列.它代表数学期望函数m(t)=E5,与相关函数 B(t,1+k)=E(ξ}5μk)=R(k)这两个最重要的平均特征都不依赖时间t的时间序列通常假定 宽平稳序列的期望函数为零,否则可以预先减去它的期望在理论上宽平稳列常在C2的框架中 讨论 定义11.17在工程无线电,控制等诸多领域中出现的宽平稳序列常假定其期望为0, 而其相关函数R(k)常可表成某个非负函数f(A)的 Fourier系数 R(k)=f()edn 这个非负函数∫(λ)称为此宽平稳序列的谱密度 相关函数概括了宽平稳序列的最重要的统计特征因而谱密度f()也同样概括了宽平 稳序列的最重要统计特征在实际问题中,可以通过序列,的一段观测值来估计,即用 f(4)=-1 (11.5) 来估计谱密度f(λ),称为谱图估计.这个估计简单易用,但是较为粗略参照非参数统计中的 核估计的思想,可以得到一些改进的估计而在宽平稳序列的期望不等于0时,则用 n+1∑:-FE=n (11.4) 作为谱图估计 在应用中,可以认为相关函数与谱密度有相同的作用.但是在具体处理上,又各有其长 处.用相关函数研究宽平稳序列称为时域方法,而用谱密度研究宽平稳序列则称为频率域方法 具有谱密度的宽平稳序列可以用它的样本平均来估计其均值m n+1-m|0 此公式的收敛是c2?的收敛,就是均方收敛其证明需要用宽平稳列的谱积分理论,这是 个已经发展得过于成熟的理论,本书由于篇幅的限制而不再选入这部分材料.又因为均方收敛 蕴含了概率收敛,所以有:以接近于1的概率有5++5nm,同时还可以用样本来估计 n+1 相关函数 505k+…+n5n+ R(k)‖ 同样它蕴含了以接近于1的概率有55+…+5BA ≈R(k).记289 4. 1 平稳序列与宽平稳序列. 在实用领域中称随机变量序列 (-¥ < n < ¥) n x 为时间序列， 常假定其方差有限. 定义１１.１６ 如果对于任意m, k ，m 维随机变量 ( , , } k+1 k+m x L x 都与 ( , , } 1 m x L x 同 分布, 则称 (-¥ < n < ¥) n x 为平稳序列. 如果有对于任意n, k 有 E m, E( ) n R(k) x n = 常数 x n x n +k = 某个不依赖 的函数 , 则称 (-¥ < n < ¥) n x 为宽平稳序列, 而R(k ) 称为它的相关函数. 宽平稳序列是在应用中最常用的时间序列．它代表数学期望函数 E t m t x D ( )= 与相关函数 B(t,t k ) E( ) R(k) + = t t+k = D x x 这两个最重要的平均特征都不依赖时间 t的时间序列. 通常假定 宽平稳序列的期望函数为零, 否则可以预先减去它的期望. 在理论上宽平稳列常在 L 2 的框架中 讨论. 定义１１.１７ 在工程, 无线电, 控制等诸多领域中出现的宽平稳序列常假定其期望为 0, 而其相关函数R(k ) 常可表成某个非负函数 f (l) 的 Fourier 系数: ò = p l l l 2 0 R(k) f ( )e d ik , (11. 4) 这个非负函数 f (l) 称为此宽平稳序列的谱密度. 相关函数概括了宽平稳序列的最重要的统计特征, 因而谱密度 f (l) 也同样概括了宽平 稳序列的最重要统计特征. 在实际问题中, 可以通过序列 n x 的一段观测值来估计, 即用 å= - + = n k ik k e n f 0 2 ^ | | 1 1 ( ) l l x (11. 5) 来估计谱密度 f (l) , 称为谱图估计. 这个估计简单易用, 但是较为粗略. 参照非参数统计中的 核估计的思想, 可以得到一些改进的估计. 而在宽平稳序列的期望不等于 0 时, 则用 ) 1 1 | ( ) | ,( 1 1 ( ) 0 0 2 ^ ^ å å = = - + - = + = n i i n k ik k n e n f l x x x x l (11. 4)’ 作为谱图估计. 在应用中，可以认为相关函数与谱密度有相同的作用．但是在具体处理上，又各有其长 处．用相关函数研究宽平稳序列称为时域方法，而用谱密度研究宽平稳序列则称为频率域方法. 具有谱密度的宽平稳序列可以用它的样本平均来估计其均值 m: || 0 1 || 0 - ® + + + m n n x L x , 此公式的收敛是 L 2 ? 的收敛,就是均方收敛. 其证明需要用宽平稳列的谱积分理论, 这是一 个已经发展得过于成熟的理论, 本书由于篇幅的限制而不再选入这部分材料. 又因为均方收敛 蕴含了概率收敛, 所以有: 以接近于 1的概率有 m n n » + + + 1 0 x L x . 同时还可以用样本来估计 相关函数： ( ) || 0 1 || 0 - ¾¾¾® + k + + n n+k n®¥ R k n x x L x x , 同样它蕴含了 以接近于1 的概率有 ( ) 1 0 R k n k n n k » + + + + x x L x x . 记